Введение в теорию колебаний и волн. - Рабинович М.И.
Скачать (прямая ссылка):
Концентрация и температура в ядре текущей жидкости (св и Тв) также
считаются постоянными. Тепло- и массообмен на внешней поверхности частицы
может быть описан с помощью постоянных коэффициентов теплоотдачи а и
массоотдачи kc. При указанных предположениях уравнения баланса массы и
энтальпии принимают вид
^ = DeV2c-r(c, Т), (Р16-1)
Cp^. = KV2T + (~ЛЯГ) -г (с, Т). (Р16-2)
Здесь Ср - теплоемкость на единицу объема псевдогомогенной реагирующей
среды "катализатор-реакционная смесь" и (-ЛЯГ) - теплота реакции.
Рассмотрим теперь каталитическую реакцию с соотношением для скорости
реакции, задаваемым в форме
г = kxc exp (-E/RT).
Если рассматривать введенные выше формы частиц катализатора, то уравнения
баланса (Р16-1) и (Р16-2) можно переписать в виде
<Р1М>
crik = (If + f If) + <-дя*> *"сехР (-¦да>- <р 16-4>
Граничные условия, описывающие перенос тепла и массы на внешней
поверхности частицы, имеют вид (R может обозначать, например, радиус
частицы)
x = R: kc(cB~c) = De^. (PI6-5)
а(Тв-Т) = К-§-, (Р16-6)
При этом соответствующие профили концентрации и температуры считаются
симметричными относительно центра частицы (х =0) и, следовательно,
дс дТ
Глава 4
Применяя уравнения (Р16-3), (Р16-4) к случаю установившегося состояния,
можно получить соотношение между концентрацией и температурой внутри
частицы
Т - Ts = (-АЯг)-ц- (cs - с), (Р16-8)
которое принято называть формулой Пратера (Тs и с5- соответственно
температура и концентрация на поверхности частицы) .
Введем безразмерные переменные
г = x/R, у - с/св, в = -^5-(Г -Гв), Y = -r§-,
К1в g
фLw-cV, (Р16-9)
е " тс р е
q-l, TvTii _ *___ тА>е
sh=-oT- Nu = TT' * =
'В этих переменных уравнения баланса в безразмерной форме перепишутся
так:
^-•&+т-*-(r)*"р(ттет)- '(pl6-10, f-=-^- + ff- + vP(r)!""p(-rw)- (Р16-П>
Граничные условия при этом принимают вид t>0, г=1: 1= У + 'sh"^".
o-ea.-Li(r) (Р16'12)
0 - 0 + Nu дг '
t > 0, г - 0: - (Р16-13)
Если интенсивность тепло- и массообмена на внешней поверхности частицы
оказывается высокой (Sh->-oo, Nu-э-оо, cs = cв, Ts - T3), то граничные
условия (Р16-13) переходят в условия
у(1, 0=1, (c)(1.0 = 0. (Р16-14)
Формула Пратера (Р16-8) в этом случае приобретает вид
0 = yP(1-0). (Р16-15)
Задача 16 имеет в общем случае 7 параметров: у, р, Ф, a, Lw, Sh, Nu.
4.3. Задачи с распределенными параметрами
123
4.3.5. Задача 17. Уравнения Навье - Стокса
для случая течения жидкости между двумя бесконечными соосными
вращающимися дисками
Рассмотрим установившееся, вращательное и осесимметричное течение вязкой
несжимаемой жидкости. Пусть область, в которой перемещается жидкость,
ограничена двумя бесконечными вращающимися дисками. Соответствующие
уравнения Навье- Стокса в цилиндрических координатах (г, 0, г) можно
записать в виде [4.52]
Здесь (и, v, w) - составляющие скорости по координатам (г, 0, z), р -
давление, р - плотность и v - кинематическая вязкость. Оператор V2 в
цилиндрических координатах имеет вид
К уравнениям (Р17-1) - (Р17-3) добавляется уравнение неразрывности
Мы будем считать, что один из дисков располагается в плоскости 2 = 0 и
вращается с угловой скоростью ?2. Другой диск лежит в плоскости 2 = d и
вращается с угловой скоростью SQ,
Граничные условия для уравнений (Р17-1) - (Р17-4) ("условия прилипания")
записываются в виде
Введем предположения, приводящие задачу (Р17-1) - (Р17-5) к краевой
задаче для системы обыкновенных дифференциальных уравнений.
Будем искать решение, у которого осевая составляющая скорости зависит
только от осевой координаты, т. е.
где S е [-1, 1].
2 = 0: и - 0, v = Qr, w = 0, z = d: и = 0, v - SQr, w - 0.
(Р17-5а)
(P17-5b)
w = w (2).
(PI 7-6)
124
Глава 4
Далее предположим, что при г = О составляющая скорости и имеет
конечное значение. Тогда, интегрируя уравнение
(Р17-4) по переменной г, мы получаем (Л (я)-постоянная ин-
тегрирования)
ги + А (г) = - -у w' (г).
Подставив г = О, получаем А {г) = 0 и, следовательно,
u=-jw'(z). (Р17-7)
Из уравнения (Р17-3) имеем
w • w' (z) = - + vw" (г),
после чего, интегрируя по z, находим (В(г) - постоянная интегрирования)
+ vw'(z) + B(r). (Р17-8)
Дифференцирование соотношения (Р17-8) по г дает
= (Р17-9)
Из уравнения (Р17-1) после подстановки формул (Р17-7) и .(Р17-9) получаем
= (Р17-10)
Интегрирование (Р17-10) с учетом граничных условий (Р17-5) дает
B(r) = jr2Q2+-^r2q + c, (Р17-11)
где q и с - некоторые постоянные величины. Сравнивая теперь формулы (Р17-
9) и (Р17-10), имеем
v = rg(z), (Р17-12)
а комбинируя формулы (Р17-8) и (Р17-11), находим
г2
2 - v_, , 2
т. е.
p-w vw'(z) + ^(Q2 + q) + c, (Р17-13)
! = Я(г)+^-(?22 + <7). (Р17-14)
Литература
125
Соотношения (Р17-7), (Р17-12) и (Р17-14) определяют вид •соответствующих
функций для составляющих скорости и для давления. Принимая во внимание
эти соотношения, воспользуемся подстановкой
g = z/d, (Р17-15а)
u = rQF{l), (Р17-15b)
v = rQG(l), (PI 7-15с)
w = (v?2)I/2 Я (?), (P17-15d)
-? = vOP(S) + ±-kQ?r2. (P17-15e)
