Введение в теорию колебаний и волн. - Рабинович М.И.
Скачать (прямая ссылка):
типов. Отметим, что данная задача имеет восемь параметров: Dx, Dy> L, a,
6, v0, P, у.
4.3. Задачи с распределенными параметрами
115
¦4.3.1.3. Задача 13. Система "реакция - диффузия" в случае модели
Майнхардта
Одной из наиболее известных моделей морфогенеза в настоящее время
является модель системы "реакция-диффузия" с кинетикой типа активатор-
ингибитор, предложенная Майн-хардтом [4.44-4.47]. Эта модель описывает
пространственную дифференциацию ткани в процессе эмбриогенеза при почти
симметричных начальных условиях.
Модель описывается системой двух уравнений "реакция- .диффузия" типа
(4.3.7). Функции f и g в данном случае имеют (r)ид
f (х, у) = РоР + срх2/у - рх, (Р13-1)
g (х, у) = с'р'х2 - vy. (Р13-2)
Величины р и р' характеризуют здесь плотность источников для веществ,
действующих как активатор и ингибитор, а ро, с, р,
¦с', v - положительные параметры. У этой системы существует
единственное тривиальное решение х, у:
х = РоР/М- + cpv/c'p'p, (Р13-3)
у = c'p'x2/v. (Р13-4)
Для задачи 13 можно использовать граничные условия всех трех типов - ГУ1,
ГУ2 или ГУЗ. В данной задаче имеется 10 параметров: Dx, Dy, L, р, р', р0,
с, р, с', v.
4.3.2. Задача 14. Трубчатый неизотермический реактор с аксиальным
перемешиванием
Модель трубчатого реактора с аксиальным перемешиванием используется как
для гомогенных, так и для гетерогенных (каталитических) реакторов
([4.48], [4.49]). В последнем случае полезна упрощенная, псевдогомогенная
модель, основанная на предположении, что гетерогенную систему
"катализатор-реакционная смесь" можно заменить гомогенной средой с некими
эффективными характеристиками. Такая псевдогомогенная модель и
формулируется в задаче 14.
Рассмотрим трубчатый реактор с теплопередачей через стенку (см. рис.
4.10). Будем считать, что реакционная смесь полностью перемешивается в
радиальном направлении; тем самым мы будем рассматривать только
продольные градиенты концентраций компонент и температуры. Далее,
предположим, что плотность потока компонент в продольном направлении
описывается соотношением вида ~-De{dc/dt), аналогичным
116
Глава 4
закону Фика, где De - эффективный коэффициент диффузии* с - концентрация
компоненты.
Аналогично будем предполагать, что плотность потока тепла в продольном
направлении задается соотношением вида -ke(dT/dl), где ke - эффективный
коэффициент теплопроводности.
Рис. 4.10. Трубчатый реактор с аксиальным переносом тепла и массы;
граничные условия типа Данквертса.
Предположим, далее, что в реакторе протекает реакция первого порядка,
описываемая выражением для скорости реакции вида kooCexpi-E/RT) (Е -
энергия активации, R - газовая постоянная) и с тепловым эффектом
(энтальпией реакции) -АЯг. Мы будем считать, что плотность теплового
потока через стенку трубки определяется выражением 4U(T - Tc)/d, где U -
соответствующий коэффициент теплопередачи, d - диаметр трубки и Тс -
температура теплообменной (например, охлаждающей) среды вне трубки.
Мы будем предполагать, что в реакторе имеется катализатор. Пусть
плотность жидкости равна pt, а ее теплоемкость на единицу объема при
постоянном давлении постоянна и равна Срг, плотность же катализатора
равна ps, а его теплоемкость на единицу объема также постоянна и равна
Cps. Тогда уравнения баланса массы и энергии можно представить в виде
= (-E/RT), (Р14-1)
(Г -Ус) + (1 -ерД-AHJk^cexpi-E/RT). (Р14-2>
z = 0 L =0
z - 1 I = L
Здесь т - время, eP - доля объема, занятая жидкостью, в v - (постоянная)
скорость жидкости. Начальные условия еле-
4.3. Задачи с распределенными параметрами
117"
дующие:
т = 0: c(t, 0) = c°(l), T(l, 0) = Т°(1). (Р14-3)
Пусть теперь на границе области выполняются граничные условия типа
Данквертса (рис. 4.10) (см. [4.8])
т > 0, 1 = 0: -Д. - = у (с0 - с),
-K-w = ve <САТе-Т)-
(Р14-4)-
т > 0, l = L: = = (PI4-5)
Здесь Со и То - концентрация и температура до входа в реактор. Введем
следующие безразмерные переменные и параметры:
г = IjL, t = %v/Lep, у= 1 - с/с0, 0 = Т^° • ,
vL vp,C",L Е
Рем = Д7 ' Рен== Ге ' y==~RT\'
В = У ^ ¦ Da = ---v вр^ kx exp (-у), (P14-6>
T. epPfcPf + (1-eP)PscPs *UL
Pfcpfep ' dt>PfCpf
@ _ Tc - T0 _ E Uc Г0 7?Г0 •
Здесь у обозначает конверсию, (c) - безразмерную температуру,, г -
безразмерную координату, t - безразмерное время, Рем, Рен - числа Пекле
для массы и тепла, у - безразмерную энергию активации, В - безразмерное
адиабатическое повышение температуры, Da - число Дамкёлера, р-
безразмерный коэффициент теплопередачи, (c)с - безразмерную температуру
охлаждающей среды и Le - число Льюиса.
В переменных (Р14-6) мы получаем систему уравнений
аг=р^^~^ + m{l~y)expTT@N' (р14'7>
(Р14-8)*
118
Глава 4
с граничными условиями
2 = 0: Рему Рен 9 = -§§•,
(Р14-9)
(Р14-10)
Данная задача имеет восемь параметров: Рем, Рен, у, В, Da, р, вс и Le.
Заметим, что уравнения (Р14-7), (Р14-8) отличаются от уравнений (4.3.7),
описывающих систему типа "реакция- диффузия", конвективными слагаемыми, а
