Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Рабинович М.И. -> "Введение в теорию колебаний и волн." -> 382

Введение в теорию колебаний и волн. - Рабинович М.И.

Рабинович М.И. Введение в теорию колебаний и волн. — НИЦ, 2000. — 564 c.
Скачать (прямая ссылка): vvedenievteoriuvoln2000.djvu
Предыдущая << 1 .. 376 377 378 379 380 381 < 382 > 383 384 385 386 387 388 .. 942 >> Следующая

5
jdi = - Z Dikgradck,
(4.3.3)
dc^
dt
., S.
(4.3.4)
z - 0 L -- 0
(4.3.5)
(4.3.6)
dx Dr d2x
112
Глава 4
Выбор начальных и граничных условий для системы (4.3.7) зависит от
конкретной физической ситуации. В случае задания на границе
рассматриваемой пространственной области постоянных значений концентраций
мы будем говорить о граничных условиях 1-го рода (ГУ1), или условиях
Дирихле:
2 = 0: x(0,t) = x0, y(0,t) = g0, (4.3.8а)
2=1: x(l, t) = хъ y(\,t) = yx. (4.3.8b)
Важный частный случай ГУ1:
х0 = хх = х, Уо = У1=У, (4.3.9)
где х и у представляют собой решение уравнений
f(x,y) = 0, g(x, г/) = 0. (4.3.10)
При таких граничных условиях есть очевидное стационарное решение
уравнений (4.3.7), однородное по пространству:
x(z) = x, у (2) = у. (4.3.11)
Другим часто встречающимся типом граничных условий являются условия 2-го
рода (ГУ2, или условия Неймана)
г"°.1: -&-IH0- <4-312>
Указанные условия характеризуют непроницаемость границ области для
компонент хну. Тривиальное стационарное решение (4.3.11), очевидно,
удовлетворяет и ГУ2.
Граничные условия 3-го рода (ГУЗ), которые описывают частичную
проницаемость границ системы для компонент хну, имеют вид
д х д if
% 0* I- = Yjco" Q'yo 1" $уоУ Ууа> (4.3.13а)
z=1: + P*i* = Y*i. a",il7+ ?>у1У = Уу1- (4.3.13b)
Для всех трех типов граничных условий мы ввели здесь сокращения ГУ1, ГУ2
и ГУЗ, которые в дальнейшем (в данной главе
и в гл. 6) будут часто использоваться для упрощения записи.
Заметим, что система может иметь на своей левой и правой границах
граничные условия различных типов. Так, например, если нас интересует
симметричное относительно центра промежутка решение для ГУ1 (4.3.9), то
мы можем рассмотреть это решение на половинном промежутке, т. е. для z е
[0, 1/2], причем в точке 2 = 0 мы задаем ГУ1, а в точке z- 1/2 ГУ2.
4.3. Задачи с распределенными параметрами
113
Начальные условия для системы (4.3.7) имеют вид
t = 0: х {z, 0) = х0 (z), y(z,0) = y0{z) (4.3.14)
и описывают начальное распределение концентраций (концентрационные
профили).
Уравнения (4.3.7) с приведенными выше начальными и граничными условиями,
кроме изотермической системы типа "реакция - диффузия", могут описывать
также, к примеру, некоторые задачи экологии [4.42].
Рассмотрим теперь асимптотическое поведение уравнений
(4.3.7) с граничными условиями типа ГУ2 для случая очень 'больших
интенсивностей массопереноса [4.43]. При этом ¦д2х/дг2-+0 и д2у/дг2^-0, в
результате чего вместо уравнений
(4.3.7) мы получаем систему, в которой пространственные градиенты
концентраций отсутствуют:
= у), -% = g{x,y). (4.3.15)
Уравнения (4.3.15) описывают систему с идеальным перемешиванием (систему
с сосредоточенными параметрами).
Положим теперь один из коэффициентов диффузии равным нулю. Это можно
сделать в тех случаях, когда величины коэффициентов диффузии существенно
различаются между собой, либо какая-нибудь компонента системы связана
(неподвижна). Тогда найденное решение упрощенной задачи может служить
аппроксимацией решения исходной задачи. Например, если Dx Dy, то
построенная таким образом аппроксимационная модель принимает вид
дх DK д2х . ?/ ,
dt ~~ L2 дг2 + ^
а, , . <4-3-16>
-^¦==g(x, у).
Система (4.3.7) в случае задания ГУ2 обладает еще одной интересной
особенностью. Зная решение x(z), y(z) на промежутке ге[0, 1] при заданном
L, мы можем с помощью "сложения профилей" построить решение x(z), y(z)
при L = mL, где m - натуральное число, воспользовавшись для этого
следующим способом:
Чг\:*{2=Чг)=х(1Р(2"'
(4.3.17)
8 М. Холодниок н др.
114
Глава 4
где функция <p(z) определена при ге [0, 1] как
ф(г) = 2, если k четное,
. *, (4.3.18>
Ф (г) = 1 - z, если k нечетное.
Аналогичный подход - "сложение решений" - можно использовать и для
периодических решений. Для того чтобы лучше уяснить себе смысл операции
"сложения решений", читателю рекомендуется изобразить этот процесс
графически для т = 2..
4.3.1.1. Задача 11. Система "реакция - диффузия" для кинетики типа
"брюсселятор"
Если использовать модельную кинетику типа "брюсселятор"* (см. задачу 7),
то функции / и g в уравнениях (4.3.7) принимают вид
f{x, у) = А - (В+1)х + х2у, (РП-1)
g (х, у) = Вх - х2у.
Тривиальное стационарное решение (4.3.11) в этом случае записывается как
х(г)*=А, y(z) = B/A. (Р11-2)
Роль параметров в этой задаче играют Dx, Dy, L, А, В.
4.3.1.2. Задача 12. Система "реакция - диффузия", случай SW-кинетики
Если рассматривать распределенную систему с кинетикой, описываемой SH-
моделью (см. задачу 4), то функции fug в уравнениях (4.3.7)
представляются в виде
f{x, y) = a(v0 + ху)/{\ +хЧ) - х(1 А-У), (Р12-1)
g(x, у) = х (Р -f у) - дх. (Р12-2)-
Решение системы уравнений f - g = 0, в отличие от модели типа
"брюсселятор", здесь может быть найдено только численно (при заданных
значениях параметров а, б, vo > 0, р, у >• > 1). При этом в определенном
диапазоне изменения параметров можно получить несколько решений. Как и
выше, задачу 12 можно рассматривать с граничными условиями всех трех
Предыдущая << 1 .. 376 377 378 379 380 381 < 382 > 383 384 385 386 387 388 .. 942 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed