Введение в теорию колебаний и волн. - Рабинович М.И.
Скачать (прямая ссылка):
уравнений явным образом [4.37].
Будем предполагать, что концентрация исходного вещества А не постоянна, а
меняется во времени по следующему закону:
сА = А + a sin <оС (Р9-1)
Тогда изменение концентраций промежуточных продуктов X и Г в одном
реакторе описывается уравнениями, аналогичными (Р7-1) и (Р7-2):
^.==X2Y-(B+ 1)А + A + asinmf, (Р9-2)
~ = ВХ - X2Y, (Р9-3)
или
х, р), x = (X,Y), р = (А, В, а, <о). (Р9-4)
4.2.10. Задача 10. Модель Лоренца
Рассмотрим слой жидкости, изображенный на рис. 4.8. В направлении
вертикальной оси слой имеет толщину Я, в горизонтальных направлениях
размеры слоя считаются бесконечными. Будем предполагать, что жидкость
имеет свободную поверхность и что тепло, возникающее за счет внутреннего
трения в жидкости, пренебрежимо мало. Будем предполагать, далее, что
распределения скоростей и температуры, возникающие из-за разности
температур АТ, могут быть описаны системой дифференциальных уравнений с
частными производными в приближении Буссинеска (в частности, являются
постоянными плотность, коэффициенты вязкости и теплопроводности, см.
4.2. Задачи с сосредоточенными параметрами
109
[4.38, 4.40, 4.52]). Эту систему можно аппроксимировать системой
обыкновенных дифференциальных уравнений, получаемых в результате
разложения полей температур и скоростей течения в ряды Фурье [4.52].
Лоренц [4.40] применил очень простую аппроксимацию, в которой
используется всего три
Рис. 4.8. Слой жидкости, нагреваемый снизу (к модели Лоренца).
члена этих разложений. При этом он получил следующую систему уравнений:
х = оу - ах,
y = - xz + rx - y, (Р10-1)
z = xy - bz.
Здесь переменная х отвечает одной из компонент скорости, а переменные у,
г соответствуют членам разложения температуры в ряд Фурье. Параметр а
представляет собой число Прандтля, а параметр г - число Рэлея. В
векторной форме
(4.2.1) мы имеем
х = (х, у, z), р = (а, г, Ь).
Тривиальное стационарное решение системы (Р10-1), х - = у - z = 0,
соответствует случаю передачи тепла с помощью теплопроводности, когда
жидкость покоится и температурный профиль оказывается линейным. Два
других стационарных решения системы (Р10-1) имеют вид
x==y==±[b(r- 1)]1/2, z = г - 1. (Р10-2)
Эти решения соответствуют простому конвективному течению, изображенному
на рис. 4.8.
110 Глава 4
За последние десять лет модель Лоренца превратилась в наиболее изученную
модель возникновения хаотического движения жидкости [4.40]. При этом в
большинстве работ исследуется обычно изменение характера решения
(возникновение периодического решения определенного типа или же появление
хаотического решения) в зависимости от изменения параметра г (числа
Рэлея).
4.3. ЗАДАЧИ С РАСПРЕДЕЛЕННЫМИ ПАРАМЕТРАМИ
В этом параграфе будут сформулированы нелинейные задачи, приводящие к
решению систем дифференциальных уравнений с частными производными,
которые в дальнейшем, в гл. 6, используются для иллюстрации различного
рода численных подходов. Принимая во внимание сложности численного
анализа, мы будем рассматривать только системы с одной пространственной
координатой (параметрические исследования для систем с большим числом
пространственных переменных много труднее и в настоящее время только
начинают широко применяться на практике).
4.3.1. Системы типа "реакция - диффузия"
Рассмотрим s компонент, реагирующих между собой в ходе R независимых
реакций при постоянной температуре. Изменение концентрации во времени и
пространстве может быть описано системой локальных уравнений баланса
массы для s выбранных компонент
дс.
-jj- + div jj- = h. (4.3.1)
Здесь Ci - молярная концентрация компоненты i, ft описывает
возникновение i-й компоненты в результате R независимых
/ я
реакций (при этом fi-Yu^uri^ ГДе v<7 - стехиометрический V /=1
коэффициент i-й компоненты в /-й реакции и г,- - скорость
^ .
/-и реакции I, j; -молярная плотность потока компоненты t.
Если учитывать только диффузионные и конвективные составляющие потока, то
имеет место соотношение
ji = jdi + vci, (4.3.2)
где v - вектор локальной мгновенной скорости смеси; в дальнейшем мы будем
полагать v = 0.
4.3. Задачи с распределенными параметрами
111
Диффузионный поток jdi линейно зависит от градиентов концентраций:
где s - число компонент. Комбинируя формулы (4.3.1) и (4.3.3), получаем
Здесь Dik - коэффициенты диффузии и взаимной диффузии. Если положить в
дальнейшем Du = const и Бц - 0 при i?=j
Рис. 4.9. Одномерная двухкомпонентная система типа "реакция - диффузия".
и рассматривать только две компоненты реакции, считая при этом задачу
одномерной, то соответствующие уравнения баланса можно записать в виде
(см. рис. 4.9)
Здесь L -размер системы, 2б(0, 1)-безразмерная координата и /j = -
Dx(dcx/dz), j2 = -D2(dc2/dz).
Анализ поведения систем типа "реакция-диффузия" для случая двух компонент
представляет собой достаточно общую задачу. В дальнейшем мы будем
использовать следующие обозначения: х = Сх, у - с2, Dx = Dx, Dy = D2, f =
fx, g - f^, Для искомых функций x{z, t) и y(z, t) имеем
