Введение в теорию колебаний и волн. - Рабинович М.И.
Скачать (прямая ссылка):
на них не сразу, а с некоторым запаздыванием. Подобная реакция с
временным запаздыванием tb может быть описана с помощью модифицированной
функции роста [4.35]
Ц = ^ + Kslcs(t-t^) + cs(t-tL)/Kl ' (Р64)
Замечание. Уравнения (Р6-1), (Р6-2) описывают также реактор проточного
типа с полным перемешиванием в случае ферментативной реакции,
ингибируемой субстратом.
4.2.7. Задача 7. Реактор с модельной реакцией типа "брюсселятор"
В теории диссипативных структур в качестве теоретического примера
нелинейной химической реакции чаще всего используется схема реакции типа
"брюсселятор" [4.36]. В этой схеме исходные вещества А и В превращаются в
продукты реакции D и Е с возникновением промежуточных продуктов X и Y:
А -¦ X,
B + X-^Y + D,
2Х +Y-^3X,
X -*• Е.
Если концентрации входных веществ (А и В) постоянны, а константы
скоростей реакций ki, i = 1, 2, 3, 4, равны единице, то изменение
концентраций промежуточных продуктов в реакторе проточного типа с
перемешиванием описывается соотношениями
^L=A-(B+ l)X + X2Y, (Р7-1)
- ВХ - X2Y. (Р7-2)
Обратите внимание на то, что в приведенных уравнениях баланса не
учитываются входные и выходные потоки. Тем самым мы предполагаем, что в
реактор поступают только
106
Глава 4
компоненты А и В, концентрации которых остаются постоянными, а выводятся
из реактора продукты D и Е, которые не входят в уравнения из-за
необратимости реакций.
Два дифференциальных уравнения (Р7-1), (Р7-2) можно-записать в форме
(4.2.1), положив х-{Х, У) и р = (А,В).
4.2.8. Задача 8. Каскад реакторов с взаимным массообменом и реакцией
типа "брюсселятор"
Рассмотрим N изотермических реакторов проточного типа с полным
перемешиванием в случае наличия взаимного массо-обмена между соседними
реакторами. Тогда уравнение баланса массы для системы, в которой
происходит R независимых реакций между S компонентами (S > R), можно
представить в виде
dx R N
Vb dt ~ ^kX°ik FkXik~^~ У! УИГ иУк '^t^lilk{.Xll Xik)' (P^-l)
1-1 1-1
Здесь t=l, 2, ..., R, k==l, ..., N, Vu - постоянный объем k-то реактора,
Е* - постоянный расход, х°{к - концентрация i-й компоненты на входе й-го
реактора, \ц- соответствующий стехиометрический коэффициент, гщ -
скорость i-й реакции в k-м реакторе, huk - коэффициент массопередачи i-й
компоненты между 1-м и k-м реактором.
Для реакции типа "брюсселятор", где R = 2, обычно предполагается, что
результирующие приток и отток промежуточных продуктов равны нулю (Fk =
0), а концентрация поступающих компонентов поддерживается постоянной
[4.36].
Рассмотрим каскад из двух одинаковых реакторов (N = 2, Vi = V2) и пусть
huk = const = Dl huk = const = D2 (рис. 4.7a). Тогда уравнения баланса
массы для промежуточных продуктов X и Y можно представить в виде ('=d/dt)
X, = А - (В + 1) X, + Х?Е, + Di (Х2 - Xi), (Р8-2)
Yi = BXi - X*Yi + D2 (E2 - Pi), (P8-3)
X* = A - (B + 1) X2 + XtY2 + Di (A, - X2), (P8-4)
Y2 = BX2 - X\Y2 + D2 (El - E2). (P8-5>
В качестве начальных условий можно взять, например, при t = 0 Xi = Х2 =
Е, = Е2 = 0.
Эти четыре дифференциальных уравнения можно записать в форме (4.2.1),
положив
х = (Хь Еь Х2, Е2), р = (А, В, Du D2). (Р8-6>
4.2. Задачи с сосредоточенными параметрами
107
Два реактора с взаимным массообменом можно рассматривать также в случае
потока, текущего лишь в одном направлении, из реактора 1 в реактор 2
(рис. 4.76). При этом уравнения (Р8-4), (Р8-5) сохранят свой вид, а
уравнения (Р8-2) и (Р8-3) заменятся следующими:
X, == А - (В + 1) Хх + XfYi. (Р8-2а)
Yi = BXi - JfiYv (Р8-За)
Аналогичным образом, если рассматривать линейную цепочку из одинаковых
реакторов (N = 4), схема которой показана на
а Ь
с
Рис. 4.7. Каскад реакторов с взаимным массообменом.
рис. 4.7с, то уравнения баланса массы можно записать в виде X, = А - (В +
1) X, + Xfri + D\ (Х2 - А,), (Р8-7)
У, = BXi - X\Yx + D2 (Y2 - У0, (P8-8)
X2 = A - (В + 1) X2 + X\Y2 + D\ (X\ - 2X2 -f A3), (P8-9)
У2 = BX2 - X!y2 + D2 (У! - 2У2 + Уз), (Р8-10)
Х3 = А - (В + 1) Аз + А3У3 + Dx (А2 - 2А3 + А4), (Р8-11)
Уз = ВАз - АзУз + D2 (У2 - 2У3 + У4), (Р8-12)
Х4 = А - (В + 1) А4 + X4Y4 + Dx (Аз - А4), (Р8-13)
У4 = ВХ4 - X4У4 + Д2 (Уз - У4). (Р8-14)
Эти дифференциальные уравнения можно представить в форме
(4.2.1), положив
Х = (АЬ У" А2, У2, Аз, Уз, А4, У4), р = (А, В, Dx, D2). (Р8-15)
108
Глава 4
Совершенно аналогично можно построить модели для систем реакторов,
соединенных различными способами, например, для линейной цепочки из пяти
и более реакторов, для замкнутого кольца из реакторов, для гексагональной
структуры из шести реакторов, расположенных по окружности с одним
центральным реактором, и т. д. Читатель может легко вывести
соответствующие уравнения, используя формулу (Р8-1).
4.2.9, Задача 9. Система типа "брюсселятор" с изменяющимся во времени
впуском
Схема модельной реакции "брюсселятор" может быть использована при
исследовании свойств нелинейных неавтономных систем, т. е. систем, для
которых время входит в правые части соответствующих дифференциальных
