Введение в теорию колебаний и волн. - Рабинович М.И.
Скачать (прямая ссылка):
малоновой или броммалоновой кислоты ионами броматов в кислой среде,
катализированный ионами переходных металлов (церия, железа). При
различных условиях в реакторе проточного типа с перемешиванием можно
наблюдать длительные автоколебания, несколько стационарных состояний и
периодических режимов, хаотическое поведение, а в распределенных системах
- распространяющиеся концентрационные волны окисления и восстановления
[4.24, 4.25]. Указанная
*> Формулами (Р2-10) время задержки т(= V/F) определено для одина-
ковых реакторов. - Прим. ред.
7 М. Холодннок н др.
98
Глава 4
реакция служит моделью при исследовании нелинейных явлений в химической
кинетике. Филд, Кёрёш и Нойес [4.26] разработали подробную схему
механизма этой реакции, состоящую из одиннадцати основных реакций между
двенадцатью компонентами. Позднее Филд и Нойес [4.27] предложили
упрощенную схему, состоящую из пяти основных этапов. Обозначим компоненты
реакции следующим образом: А = ВгОз, В = ВгМА,
Р = НОВг, Х = НВгОг, Y = Br~, Z = Се4+ и запишем эту реакцию в виде
следующей схемы:
Предположим, что компоненты А и В находятся в большом избытке и что их
концентрации не зависят от времени. Тогда изменение во времени
концентраций остальных компонентов в замкнутой системе можно описать с
помощью уравнений
(здесь С/ означает концентрацию компоненты /'). Введем новые переменные
х = сосх, y = r\cY, z = ycz, t = bt'.
Тогда кинетические уравнения (РЗ-2) примут вид
Константа скорости реакции
(1) А + Y->X + Р
(2) X + Y->2P
(3) A + X-"2X + 2Z
k
k2
h
ki
kb
(P3-1)
(4) 2X-> A + P
(5) В -f- Z -> AY
(P3-2)
4.2. Задачи с сосредоточенными параметрами
99
Выберем теперь со, т], у, б так, чтобы полученные уравнения имели
максимально простой вид. Положим
Уравнения (РЗ-З) при этом переписываются в следующем безразмерном виде:
Уравнения (РЗ-5) описывают процесс реакции в реакторе с полностью
загруженной активной зоной (т. е. без подачи и отвода соответствующих
компонент).
Таким образом, скорости образования отдельных компонент можно записать
как
Тогда уравнения баланса компонент X, Y, Z в реакторе проточного типа с
перемешиванием для случая установившегося режима принимают вид (л:0, г/0,
zo - соответствующие концентрации на входе)
Компоненты реакции X (НВг02) и Z (Се4+) представляют собой промежуточные
продукты, возникающие в ходе реакции. При этом в реактор проточного типа
с перемешиванием подается только компонента Y (Вг_).
Если Хо - Zo = 0, то, полагая F/V = р, уа = а и вводя затем обозначения х
= х\, у = х2 и z - я3, уравнения (РЗ-7)
^ k 2&3
(РЗ-4)
ах , п
8 -^ = уу - Ху + Х - Х%
(РЗ-5)
гх = {м - ху + X - х2)/е, гу = (- Щ - ху + gz)/e',
(РЗ-6)
Г г == X Z.
F (xQ - х) + Vrx = О, F (Уо - У) + Угу = О, F (;г0 - z) + Vrz = 0.
(РЗ-7)
7*
100
Глава 4
с учетом формул (РЗ-6) можно переписать в виде (рх2 - х{х2 + *, - х\)/ъ -
Рх, = 0,
(-рх2 - XiX2 + gx3)/e' + Р (а - х2) = О,
ху - х3 - рх3 = 0. (РЗ-8)
Таким образом, для уравнения в форме (4.2.1) в данном
случае мы имеем х = (хь х2, хз), р = (р., в, в', р, g, а).
Более подробно кинетические модели реакции Белоусова -
Жаботинского обсуждаются в работах [4.28, 4.29].
4.2.4. Задача 4. SH-модель метаболизма тиолов
Химические процессы, происходящие при окислении низкомолекулярных тиолов
(глютатион, цистеин и т. д.) в клеточных белках, могут быть описаны
схемой реакций, представленной на рис. 4.5.
Исполь зодание
протеины протеины
Н20 Нг02 ^---- о2,
и другие и другие субстраты
продукты перекиси для окисления
Рис. 4.5. Упрощенная схема реакций метаболизма тиолов.
Для изменения во времени концентраций S - Н и S - S групп в
низкомолекулярных тиолах при использовании ряда упрощающих предположений
можно получить следующую модель [4.30-4.32]:
4.2. Задачи с сосредоточенными параметрами
101
Здесь X, У - безразмерные концентрации S - Н и S - S групп, t - время, а
а, р, у, б, vo - положительные параметры, причем (3, у > 1.
Уравнения (Р4-1) - (Р4-2) можно записать в форме (4.2.1), положив х= (X,
У), р= (а, р, у, б, v0).
4.2.5. Задача 5. Модель анаэробного разложения
Рассмотрим теперь пример реальной задачи с большим числом параметров. По
нему читатель сможет составить себе представление о сложности достаточно
реалистических моделей.
/-/ерастворимь/е органические беш,ества
Межклеточные энзимы
Растворимь1е органические беш,естба
Микроорганизмы, бырабатыва/осцие кислоты
Микробиальные Летучие кис/юты
клетки С уксусная и др.)
Метанпродии,ириюш,ае бактерии
Другие
продукты
Микробная масса СН"+С02
Рис. 4.6. Схема анаэробного разложения органических веществ.
Обычно принято считать, что анаэробное разложение органических веществ
происходит по схеме, представленной на рис. 4.6 [4.33]. Подробная модель
этого процесса была разработана Эндрюсом и его сотрудниками [4.34]. В
указанной модели в качестве управляющего звена используется последняя
ступень анаэробного процесса (получение метана). Предполагается, что в
резервуаре, содержащем газовую и жидкую фазы, происходит полное
