Введение в теорию колебаний и волн. - Рабинович М.И.
Скачать (прямая ссылка):
Из переменных.
Рис. 2.18. Бифуркация Андронова-Хопфа (случай жесткой потери
устойчивости) .
36
Глава 2
при малом изменении параметра (в окрестности его бифуркационного
значения) происходит сильное изменение состояния системы. Это явление
называется жесткой потерей устойчивости.
Достаточные условия возникновения бифуркации Андронова-Хопфа в 1-
параметрической я-мерной системе дифференциальных уравнений даются
следующей теоремой.
Теорема (Хопфа). Пусть система
x = f(x, a), xeR", aeR1 (2.2.13)
имеет положение равновесия х = 0 при любых значениях параметра а. Далее,
пусть матрица линеаризации при значениях a в некоторой окрестности ссо
имеет пару комплексно сопряженных собственных чисел Ап, 2(a) =g(a)
±г<о(а), причем
? (а0) = 0, со (а0) = <й0 > 0, (do) ф 0.
Кроме того, предположим, что остальные п - 2 собственных чисел имеют
ненулевые вещественные части.
Тогда при a = a0 от нулевого положения равновесия ответвляется
однопараметрическая система замкнутых траекторий, отвечающих
периодическим решениям периода Т(а) да 2я/<Оо, (7(а)-"-2я/(c)о при сс-"-ао.
- Ред.). Замкнутые траектории могут ответвляться либо при a С ао, либо
при а > ссо.
2.2.3. Бифуркации при наличии симметрии
Если дифференциальные уравнения описывают реальный процесс, обладающий
некой симметрией, то эта симметрия проявится в дифференциальных
уравнениях и тем самым окажет влияние на бифуркации.
Пример 2.8. Рассмотрим 1-параметрическое дифференциальное уравнение
x = f(x, a),
правая часть которого удовлетворяет соотношению f(-х, а) = = -f(x, а), т.
е. функция f является нечетной по переменной х. Чтобы понять, что дает
такой вид симметрии, выберем простейший вид f, f(x,a) = ax - х3, и
исследуем бифуркационные явления в полученном уравнении
х = ах-х3. (2.2.14)
Положение равновесия найдем, решая уравнение
ах - х3 = 0,
2.2. Бифуркации положений равновесия
37
т. е. х(1> = 0 - состояние равновесия при любыха^Р и х2'3= = ± Va ПРИ сс
> 0. Таким образом, уравнение (2.2.14) при а^О имеет одно устойчивое
положение равновесия *1=0. При a > 0 это состояние равновесия становится
неустойчивым, и от него ответвляются два устойчивых состояния равновесия
х№ = д/a, х(3) = - д/а. Соответствующие портреты показаны на
cx<Q oc=Q сс>0
Рис. 2.19. Фазовые портреты уравнения (2.2.14).
рис. 2.19, а диаграмма стационарных решений уравнения (2.2.14)
представлена на рис. 2.20. Учитывая форму этой диаграммы, описанную
бифуркацию называют иногда бифуркацией типа вилки. Случай, описанный в
примере 2.8, можно
Рис. 2.20. Диаграмма стационарных решений - бифуркация типа "вилка".
включить в более общее рассмотрение дифференциальных уравнений с
симметрией. Дадим формальное определение.
Рассмотрим векторное дифференциальное уравнение (систему)
х = f (х), x6=Rre (2.2.15)
и пусть <р(^, х) - его фазовый поток. Если существует
диффеоморфизм g:Rre-"Rre, такой, что для всех xeR" имеет место
соотношение
f(g(x)) = ^f(x), (2.2.16)
38
Глава 2
то мы говорим, что дифференциальное уравнение (2.2.15) инвариантно по
отношению к диффеоморфизму g или, кратко, g-инвариантно. Диффеоморфизм g
мы называем симметрией уравнения (2.2.15), а о самом дифференциальном
уравнении говорим как о дифференциальном уравнении с симметрией!).
Если теперь мы имеем ^-параметрическую систему дифференциальных уравнений
x = f(x, a), xeRn, ckeeR*, (2.2.17)
g-инвариантную для каждого а, то мы говорим, что система (2.2.17)
представляет собой ^-параметрическую систему дифференциальных уравнений с
симметрией g.
Пример 2.9. Рассмотрим 1-параметрическую систему (2.2.17) при п- 1
и положим g(x) --х. Формула (2.2.16) в этом
случае принимает вид /(-х, а) - -f(x, а). Уравнение х =
= f[x, а) g-инвариантно, если функция f(x, а) нечетна по переменной х
(ср. с примером 2.8).
Для фазового потока <р уравнения (2.2.15) с симметрией g при любых /eR и
jeeR" имеет место соотношение
<Р(*. g to) = g (<Р (/. х)). (2.2.18)
Следствие из формулы (2.2.18):
Если у есть траектория уравнения (2.2.15), то g(y) также является
траекторией уравнения (2.2.15).
В частности, это утверждение справедливо и для положений равновесия. В
этом, собственно, и заключается сущность бифуркации типа вилки, описанной
в примере 2.8: с отщеплением состояния равновесия х=д/сГ от нулевого
состояния равновесия появляется также симметричное ему положение
равновесия
g(Va ) = - д/a.
Решение g-инвариантного дифференциального уравнения, траектория которого
у удовлетворяет соотношению
g (Y) = Y,
называется симметричным решением.
В примере 2.8 симметричным решением является стационарное решение,
соответствующее нулевому положению равновесия (x(t) = 0).
Обратимся вновь к рис. 2.20. Если двигаться в направлении возрастания
параметра а, то в точке а = 0 происходит каче-
*> Менее формальное определение. Уравнение х = f (х) g-инвариантно, если
при замене переменных у = g (х) оно не изменяется (т. е. получается
У = f (у)). В частности, если х - q>(t)-решение, то x = g(<p(/))-тоже
