Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Рабинович М.И. -> "Введение в теорию колебаний и волн." -> 359

Введение в теорию колебаний и волн. - Рабинович М.И.

Рабинович М.И. Введение в теорию колебаний и волн. — НИЦ, 2000. — 564 c.
Скачать (прямая ссылка): vvedenievteoriuvoln2000.djvu
Предыдущая << 1 .. 353 354 355 356 357 358 < 359 > 360 361 362 363 364 365 .. 942 >> Следующая

равновесия. Можно доказать, что это утверждение справедливо для "почти
всех" 1-па-раметрических систем дифференциальных уравнений с л-мер-ным
фазовым пространством.
Рис. 2.15. Бифуркация типа "седло - узел" для 1-параметрической системы
*1 = А. + "¦ -*2 - - х2.
На рис. 2.15 изображена бифуркация типа "седло-узел" для двумерного
случая. Из рис. 2.15 видно, что при а С 0 система имеет два положения
равновесия, одно из которых есть седло, а другое - узел. Эти точки при
сс->--0 приближаются друг к другу и при а = 0 сливаются вместе в так
называемое "седло-узел". Отсюда и возникло название "бифуркация типа
седло-узел".
2.2.2. Бифуркации Андронова - Хопфа
Начнем снова с простейшего примера-рассмотрим бифуркацию положения
равновесия для следующей 1-параметрической системы двух дифференциальных
уравнений:
х, - ах{ х2 х{ (х\ + х?), = -jj ,
*2= х\ + "*2- х2 {х\ + х1)- (2.2.4)
Система (2.2.4) имеет положение равновесия х = (0,0) при любых значениях
параметра а. Исследуем его устойчивость при различных значениях aeR.
2.2. Бифуркации положений равновесия
33
Матрица линеаризованной системы в точке х = (0, 0.}. имеет
вид
Следовательно, при а <С 0 состояние равновесия х =(0,0) представляет
собой устойчивый фокус, а при сс>0 - неустойчивый фокус. При а = 0
собственные числа располагаются на мнимой оси, и об устойчивости
состояния равновесия нельзя судить по линеаризованной системе.
Для исследования фазового портрета системы (2.2.4) удобно преобразовать
ее к полярным координатам. Положим
и продифференцируем левые и правые части соотношений (2.2.7) по времени,
считая переменные г и <р функциями t. Мы получим
После подстановки в уравнения (2.2.4) и простых преобразований получаем
систему
Из второго уравнения следует, что переменная ф играет роль времени (ф =
/+/0) и что наиболее существенная информация о структуре траекторий
содержится в уравнении (2.2.9).
Положения равновесия уравнения (2.2.9) суть решения уравнения
Таким образом, одно положение равновесия ri=0 существует при любых
значениях параметра а. При а ^ 0 других положений равновесия нет.
При а > 0 уравнение (2.2.9) имеет еще одно состояние рав-
Положение равновесия г\ =0 уравнения (2.2.9) отвечает положению
равновесия х = (0, 0) системы (2.2.4), тогда как по-
(2.2.5)
она имеет комплексные собственные числа
А-1,2 (а) = а ± г.
(2.2.6)
Ху = г cos ф, х2 = г sin ф
(2.2.7)
Ху - Г COS ф - Гф Sin ф, Х2 = Г sin ф + гф COS ф.
(2.2.8)
(2.2.9)
(2.2.10)
г (а - г2) = 0; г> 0.
(2.2.11)
новесия г2 - д/а , которое является устойчивым.
ложение равновесия г2= д/а соответствует устойчивой замкну-
3 М. Холодниок и др.
34
Глава 2
той траектории системы (2.2.4), а именно окружности радиуса Va-
Таким образом, при переходе параметра а через нуль слева направо
устойчивый фокус становится неустойчивым, и от него отделяется замкнутая
траектория, диаметр которой растет пропорционально величине л/а.
Такое явление называется бифуркацией Андронова-Хопфа (или бифуркацией
рождения цикла); схема его изображена на рис. 2.16.
Бифуркация Андронова-Хопфа устанавливает связь между потерей устойчивости
положений равновесия и возникновением периодических решений в системах
дифференциальных уравнений.
В реальных системах бифуркация Андронова-Хопфа возникает довольно часто.
В приложениях удобно наглядно представлять бифуркацию Андронова-Хопфа,
изображая графически зависимость отдельных фазовых переменных от времени
(см. рис. 2.17, который соответствует рис. 2.16). В экспериментах при
значениях параметра, близких к критическому, возникающее периодическое
решение мало отличается от стационарного решения, поскольку его амплитуда
очень мала и ,может теряться в экспериментальном шуме.
Пример 2.7. Процесс бифуркации для 1-параметрической системы
дифференциальных уравнений вида
х. = ах - х2 + Xj (х\ + X*),
j . /2 1 24 (2.2.12)
x2 = xl+ax2+x2(x2l + xl)
изображен на рис. 2.18. Возникающая здесь замкнутая траектория является
неустойчивой.
Про бифуркацию Андронова-Хопфа, происходящую по сценарию рис. 2.16,
говорят, что в этом случае происходит мягкая потеря устойчивости
положения равновесия. Здесь система под действием постоянно
присутствующих малых возмущений переходит сначала из неустойчивого
состояния равновесия на "малую" устойчивую периодическую траекторию, так
что изменение поведения системы оказывается постепенным, "мягким". Другая
возможность изображена на рис. 2.18. Здесь с возрастанием параметра
область притяжения устойчивого фокуса (и амплитуда неустойчивого
периодического решения) уменьшается, и при исчезновении периодической
траектории положение равновесия становится неустойчивым. Из него система
под действием малого возмущения переходит в некоторый более отдаленный
стационарный режим (часто - периодический) и, следовательно,
2.2. Бифуркации положений равновесия
35
".<=0
С*. = 0
оь>0
Рис. 2.16. Бифуркация Андронова-Хопфа (случай мягкой потери устойчивости)
.
Рис. 2.17. Бифуркация Андронова-Хопфа: временная зависимость для одной
Предыдущая << 1 .. 353 354 355 356 357 358 < 359 > 360 361 362 363 364 365 .. 942 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed