Введение в теорию колебаний и волн. - Рабинович М.И.
Скачать (прямая ссылка):
Political and Related Models. Springer, Berlin, 1982.
Lucas W. F., Roberts F. S., Thrall R. М.: ibid, Vol. 3., Discrete and
System Models. Springer, Berlin, 1983.
Marcus-Roberts H., Thompson, М.: ibid, Vol. 4, Life Science Models.
Springer, Berlin, 1983.
X1-9] Freudenthal H., ed.: The Concept and the Role of the Model in
Mathematics and Natural and Social Sciences. Reidel Publ. Co., Dordrecht,
1961. [1.10] Lin С. C" Segel L. A.; Mathematics Applied to Deterministic
Problems in the Natural Sciences, Macmillan, New York, 1975.
2*
Глава 2
БИФУРКАЦИИ В НЕЛИНЕЙНЫХ ДИНАМИЧЕСКИХ СИСТЕМАХ
2.1. ВВЕДЕНИЕ
Систему п обыкновенных дифференциальных уравнений (ОДУ)
Х\ fi (Xj, Х2, - . . i Хл),
*2 - ?2 (Xl, X2, X"), /ni 1 \
Xn = fn(Xi, X2, . . Xn)
мы будем записывать также в векторной форме как
x = f(x). (2.1.2)
Векторное поле в правой части равенства (2.1.2) определено на
пространстве R" или на его части. Независимую переменную, которой обычно
является время, будем обозначать буквой t; кроме того, выше использованы
обозначения х,- = dxi/dt,. t=l,2, ..., п. (Эти обозначения будут
использоваться и далее.) Решением системы (2.1.1) является совокупность,
функций
<Pi(0, Фг(0 фп(0. (2.1.3)
которые удовлетворяют исходным уравнениям. Для простоты в дальнейшем
будем предполагать, что решение определено для всех le R (это условие не
всегда выполняется в приводимых ниже примерах. - Ред.) и что функции,
стоящие в правых частях уравнений (2.1.1), достаточно гладкие.
Решение (2.1.3) можно записать также в векторной форме
Ф (0 = (ф1 (0. Ф2 (0. • • •. Ф" (0). (2.1.4)
Уравнения Xi = q>i(f), х2 = фг(0. • • •. х" = срn(t), t е R представляют
собой параметрические уравнения кривой в R". Эту кривую мы называем
траекторией системы ОДУ; в случае п -
2.1. Введение
21
= 1,2,3 траектория дает наглядное представление о поведении
соответствующего решения.
Множество всех траекторий системы (2.1.1) образует в R№ фазовый портрет
системы. 1*1 При этом пространство RnMbi называем фазовым пространством
системы.
С помощью дифференциальных уравнений можно описывать реальные системы и
их изменение во времени. С помощью совокупности ОДУ можно описывать
эволюцию во времени такой системы, состояние которой в каждый момент
определяется набором из п вещественных чисел, т. е. такой, что ее
состояние можно отождествить с некоторой точкой х е R". *) В этом
контексте можно говорить о пространстве R" как о пространстве состояний
(множестве всех возможных состояний данной реальной системы). При этом
векторное поле в (2.1.2) понимается как "сила", определяющая
"направление" эволюции системы.
Решение <р(/) системы (2.1.2) определяет собой эволюцию исследуемой
системы во времени. Эта эволюция изображается движением фазовой точки по
соответствующей траектории.
Состояние системы в момент t зависит не только от указанного момента, но
и от исходного состояния системы, т. е. состояния, в котором система
находилась в момент времени t=0:
х0 = <р(0). (2.1.5)
Соотношение (2.1.5) мы называем начальным условием для решения системы
(2.1.2), а решение, которое удовлетворяет этому условию, будем обозначать
как
<p(f, х0) или <Рх"(0- (2.1.6)
Таким образом, решение (2.1.6) удовлетворяет соотношению ф(0, Хо) = х0
или, соответственно, фХо(0) = х0. Функция ф(^,х), рассматриваемая как
функция двух переменных leR ихе R", называется фазовым потоком системы
(2.1.1).
2.1.1. Качественная теория ОДУ
Большинство нелинейных систем дифференциальных уравнений мы "не в
состоянии решить", т. е. мы не можем найти общее решение
q>(f, x) = (q>,(f, х), q>2(t, х), ..., <р"(/, х)), (2.1.7)
в котором функции ф; (^, х) заданы явными аналитическими выражениями.
Предполагается, что поведение системы при i > зависит лишь от ее
состояния при t = t*. -Прим. ред.
22
Глава 2
Станем, однако, на точку зрения "потребителя" математики (физика, химика,
биолога и т. п.), который построил данную •совокупность ОДУ в качестве
математической модели своей реальной системы. Как правило, математическая
модель реальной системы не описывает ее точно. Поэтому если бы даже нам
¦было известно решение вида (2.1.7), нет оснований предполагать, что
значения q>(t,хо) (при известном х<>) будут точно соответствовать
измеренным значениям. От математической модели разумно ожидать прежде
всего качественного совпадения с поведением реальной системы; в
частности, разумно требовать, чтобы обе системы обладали одним и тем же
числом состояний равновесия, периодических решений и т. п.
Для этой цели нам достаточно знать фазовый портрет соответствующей
математической модели, который находится обычно с помощью численных
методов (см. § 5.7) Д
Приведем теперь несколько типичных примеров фазовых портретов для случаев
п = 1 и п = 2.
Рассмотрим одно дифференциальное уравнение
* = /(*), (2.1.8)
где xeR. Фазовое пространство этого уравнения представляет собой прямую.
Траекториями уравнения (2.1.8) могут быть:
a) положения равновесия, т. е. одноточечные траектории (состоящие из
