Введение в теорию колебаний и волн. - Рабинович М.И.
Скачать (прямая ссылка):
областях фазового пространства, где перекрываются основные резонансы.
Если действительная траектория регулярна, то, казалось бы, можно
надеяться получить решение в виде равномерно сходящегося ряда. Однако
описываемые в этой главе классические ряды, будучи весьма полезными при
некоторых теоретических вычислениях, оказываются расходящимися. В
классических методах амплитуда и частота колебаний представляются рядами
по степеням е при фиксированных начальных условиях. Поскольку резонансы
распределены в пространстве частот всюду плотно, то по мере изменения
частоты в высших порядках теории возмущений в дело вступают все новые и
новые резонансы. Это обстоятельство приводит к расходимости рядов,
которые в лучшем случае оказываются асимптотическими.
Поиск сходящихся решений привел Колмогорова к разработке методов
сверхсходящихся разложений [229]. Им же была предложена техника, при
которой частота удерживается постоянной, а начальные условия в процессе
выполнения разложения изменяются. Это позволило построить сходящиеся ряды
для "достаточно малых" возмущений и "достаточно далеко" от резонансов
(теория КАМ).
Рассмотрение теории возмущений мы начнем с краткого описания некоторых ее
методов, используя простые примеры динамических систем и исследуя
движение непосредственно по определяющим его дифференциальным уравнениям.
Даже для нелинейного осциллятора с одной степенью свободы (интегрируемая
система) разложение только амплитуды колебаний в степенной ряд приводит к
появлению неограниченно растущих во времени секулярных членов и
расходимости. Решая совместные уравнения для амплитуды и частоты
колебаний, Линдштедт [278 J и Пуанкаре [337 ] преодолели секулярность и
получили сходящиеся ряды. Их техника описана в п. 2.1а и представлена в
общей канонической форме в п. 2.2а. Этот материал составляет основу
дальнейшего изложения теории возмущений.
В случае двух и более степеней свободы резонансы между основными
частотами и их гармониками вызывают дополнительные
Каноническая теория возмущений
83
сингулярности, связанные с так называемыми малыми знаменателями, что
приводит к расходимости классических рядов даже для регулярных решений.
Для формального подавления этой расходимости х) были предложены некоторые
методы, в частности метод усреднения. Этот метод дает возможность
непосредственно вычислять адиабатические инварианты, которые являются
приближенными интегралами движения и получаются путем усреднения по
быстрой угловой переменной системы. Адиабатические инварианты
определяются формально с помощью асимптотических рядов по параметру
возмущения е. Относящиеся сюда приемы описаны в п. 2.16, а их
представление в канонической форме дано в § 2.3.
Следует, однако, иметь в виду, что метод усреднения приводит к неверному
выводу о том, что возмущенная система всюду интегрируема. Истинное
движение, которому отвечает структура фазового пространства с
перемежающимися областями хаотичности и островами устойчивости,
подменяется всюду интегрируемым движением, вытекающим из существования
адиабатических инвариантов 2). Будет такое описание "справедливо" или
нет, определяется величиной возмущения и той степенью детальности, с
которой сравниваются между собой реальное движение и предсказания
адиабатической теории. Это обстоятельство подчеркивалось в п. 1.4а, где
для задачи Хенона и Хейлеса (см. рис. 1.13 и последующее обсуждение)
сопоставлены истинные траектории и результаты вычислений с помощью
адиабатических инвариантов. Формальная расходимость 3) (для любого
конечного е) асимптотического ряда, представляющего адиабатический
инвариант, является еще одним свидетельством того, что метод усреднения
искажает действительную структуру фазового пространства. Тем не менее
этот метод весьма полезен при изучении движения в нелинейных системах.
Вблизи резонансов регулярные решения сильно возмущены и претерпевают
топологические изменения. В такой ситуации классическая теория возмущений
приводит к появлению малых знаменателей и расходимости рядов, как это
показано в п. 2.1в. Некоторой специальной заменой переменных эта
резонансная сингулярность устраняется, что делает возможным использование
обычного метода усреднения. Именно такая резонансная теория возмущений,
описанная в § 2.4, составляет основу нашего метода изу-
*) Правильнее было бы сказать - для построения формальных рядов, которые,
вообще говоря, расходятся.- Прим. ред.
2) В общем случае более естественно было бы говорить о переменных
действия, которые являются приближенными интегралами движения не только
для адиабатического (медленного) возмущения, но и просто для малого
возмущения. Используемые в тексте термины "адиабатическая теория".
"адиабатическое приближение" и т. п. следует понимать именно в таком
расширенном смысле.- Прим. ред.
3) Имеется в виду, что асимптотические ряды могут с успехом применяться
для анализа движения, хотя они и являются расходящимися. - Прим. ред.
