Введение в теорию колебаний и волн. - Рабинович М.И.
Скачать (прямая ссылка):
д. Период обращения около ХХЛ равен 0,62, а радиус спирали изменяется
приблизительно на 6 % за оборот. Число оборо-
Рис. 1.20. Спектр мощности Р (со) для X (t) на аттракторе Лоренца при г =
28 (по данным работы [121]).
Непрерывность спектра отражает хаотичность движения.
тов в каждой серии меняется в широких пределах практически
непредсказуемо, так как оно сильно зависит от начальных условий.
Хаотическое движение на аттракторе можно изучать при помощи отображения
Пуанкаре плоскости Z = 27. В работе [46] доказано, что это отображение
является перемешивающим и эрго- Ш -дическим. Спектр мощности X (t)
приведен на рис. 1.20. Его непрерывность отражает непериодическое,
хаотическое движение на аттракторе.
Заметив, что зависимость Z от t выглядит хаотической, Лоренц [283]
придумал следующий эффективный метод анализа движения.
Он зафиксировал последовательные максимумы Zx, Z2, . . . и построил
зависимость Zn+X от Zn, которая приведена на рис. 1.21.
Слева от пика отображение соответствует последовательным оборотам вокруг
Хх или Х2. Область справа от пика описывает переходы между Хх и Х2. Это
одномерное отображение соответствует
400- / '¦
/ '¦
350 -500^ /
-Ь----------1_______I________I j
300 350 400 450 Zn
Рис. 1.21. Одномерное отображение на аттракторе Лоренца при г - 28 (по
данным работы [283]).
во
Глава 1
приближению, при котором бесконечно много листов аттрактора соединяются в
один. Оно оказывается весьма хорошим из-за большой скорости сокращения
фазового объема.
Это одномерное отображение позволяет непосредственно понять хаотический
характер движения на аттракторе Лоренца. Действительно, производная
зависимости Zn+1(Zn) везде больше единицы, а это, как легко показать (см.
п. 7.2в), сразу приводит к экспоненциальной расходимости близких
траекторий. Соответствие между странными аттракторами и одномерными
отображениями будет использовано в гл. 7.
Глава 2 КАНОНИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ ВОЗМУЩЕНИЙ
§ 2.1. Введение
При анализе нелинейных задач широко используются методы теории
возмущений: вместо исходной динамической системы изучается близкая к ней
интегрируемая система, на которую действует "возмущение". Характеризуя
различие между этими системами малым параметром е и располагая
невозмущенным решением, мы ищем возмущенное решение в виде разложения по
степеням е. Например, в случае слабой нелинейности линейная система
интегрируется непосредственно, а возмущенное решение можно получить в
виде ряда.
В этой схеме неявно предполагается, что исследуемая система является
интегрируемой. Как мы видели в гл. 1, обычно это не так, и большинство
многомерных динамических систем не интегрируемы. В таких системах
хаотические траектории, связанные с резонансами между различными
степенями свободы, занимают конечный фазовый объем, а их распределение
среди регулярных траекторий оказывается всюду плотным. Теория возмущений
не в состоянии описать всю сложность такого хаотического движения, что
формально выражается в расходимости соответствующих рядов.
Даже в случае начальных условий, при которых траектории являются
регулярными, имеются трудности при применении теории возмущений. Под
действием возмущения регулярные траектории в некоторой окрестности
резонансов изменяют свою топологию. Возникает характерная резонансная
структура, напоминающая "острова", описанные в § 1.4, причем их фазовый
объем также конечен. Эти острова являются "микромирами" исходной
возмущенной системы, содержащими собственные хаотические и регулярные
траектории. Обычная теория возмущений не отражает изменения топологии
фазового пространства и для описания регулярного движения вблизи
определенного резонанса или ограниченной системы резонансов была
разработана специальная резонансная теория возмущений. В настоящее время
не существует методов, которые позволяли бы находить регулярные
траектории с учетом всей иерархии резонансов *).
Э Это не совсем так. Во-первых, существует техника построения сходящихся
рядов, например, в теории КАМ [11, 310, 463]. Кроме того, в последнее
время развиваются методы масштабно-инвариантного описания резонансной
структуры (см., например, [117, 165. 369] и §4.4, 4.5).- Прим. ред.
82
Глава 2
Изменение топологии фазового пространства вблизи резонансов, хаотические
области и характер движения в них составляют основное содержание
последующих глав этой книги. В данной главе мы рассмотрим методы теории
возмущений, которые используются для получения решений,
"аппроксимирующих" в некотором смысле реальное движение в многомерных
нелинейных системах. Решение в форме ряда может приближенно правильно
отражать грубые черты истинного движения даже тогда, когда реальная
траектория является хаотической или изменяет существенно свою топологию,
но при этом целиком содержится в узком слое вблизи сепаратрисы и окружена
регулярными траекториями. С другой стороны, теория возмущений не в
состоянии дать хотя бы качественное описание хаотического движения в тех
