Введение в теорию колебаний и волн. - Рабинович М.И.
Скачать (прямая ссылка):
Эти формулы позволяют сформулировать правила вычислений дифференциальных
операций с точностью до линейных по t слагаемых над тензорами, заданными
в <?3 в окрестности рассматриваемой "опорной" поверхности. В частности,
при ?=0 они определяют величины по самой поверхности. Приведем здесь
пример тензора (у?ф)^= о. Имеем
(т);=о = Г (
гР
Зф , Зф
з^р + п
-}-(ran+nv")
32Ф
Z=o ЗгР Зф
гагР
32Ф
dt,dqa dt
32ф
ппЛ72+гаХ^л7в+гап
dqa dqb
Зф , ЗгР Зф
1-Li.n , ... -i-
dt dt
и по (17), (21) VV (ф)^= о
рарР
д2Ф | V I ^Фь R^P 14-
dqadqР (а|3 f dqf dt
+(p"n-f пр")
dqadt
В предположении, что функции
Зф
ф' Щ*'
bZj&Y
32ф
?=о
(24)
S=o
§ 11] СВЕДЕНИЯ ИЗ ТЕОРИИ ПОВЕРХНОСТЕЙ 493
непрерывно дифференцируемы по координатам qa опорной поверхности *)
Л*],..-* [j&L.-*
получаем
пп [1г?]?=0^ nn(vv<p)E=o . f|l]E=0^n-^V9lE = o-n- (26)
4. Формулы Гаусса, формулы Кодацци. Вторые производные вектор-радиуса
г в окрестности поверхности, вычисляемые по (17) и (14), определяются
формулами
raP = 'Qqft (Ра -S^aPy) = j" Ру + bapn- t, ^ 6^ j ^ | P6 + fea&ypn-f-
+ р6Щ$ *") = ({ofp}"" {pv}dgfi *") Рб + ", (27)
гза = n"= - baPy, Гзз = 0. (28)
Использование формул (10.15) для представления компонент тензора кривизны
(равных в $3 нулю) приводит к громоздким выкладкам, Следует предпочесть
непосредственное рассмотрение условий интегрируемости системы уравнений
(10.10), приводимых здесь к виду
К = raPrf7P + rapC *3 = re,d<?" + г3Л = пи dqa. _(29)
Интегрируемость второй группы очевидна: г3 = п. Первая группа распадается
на две системы уравнений
а)
^ггаР ^'газ
* а * ^ а <*"
" ?3>_% (tm) =
дЯу dt76 &Q dqx
Уравнения (30 а) выполняются тождественно. Это легко проверяется по
формулам (27), (28), (14) и (11). Уравнения (306) будут нас интересовать
на самой опорной поверхности
(w~w)z=o ШРб + 6"2") ~д?(("1}Рб +ь^п ) =
= [4* Ш"4s {cfiI+ Ш { vl}~ U } { va}] Рб +
+ [{a2}*6i"{al}6"2 + ^- 5^] n~(ba2 Ь\-Ь*А)9Ь-
Приравняв нулю коэффициенты при п и р6 , приходим к двум формулам Кодацци
dbn, дЬп9 ( б \ ( 6 1
~dq^ dq^= | "21 ^61 ~~ |al ) *62 ("=".2) (3!)
*) Квадратными скобками здесь обозначается разность предельных значений
величин при С -^ -]~ 0 и С -*-0
Ж?)1г=о = ИшфЮ- Игл ф(?).
Е->+0
494
ПРИЛОЖЕНИЕ III. СВЕДЕНИЯ ИЗ ТЕНЗОРНОГО АНАЛИЗА
и к формуле Гаусса
AJH Li 6 l + l V Ц 6 l_i у I i 6 I_ (b ьЬ-h b*) (32)
dq1 ("2 | dq2 (al | ^ ) a2 J | yl | )otl / 1 Y2 ( 4
Левая часть воспроизводит выражение (!0.П) при k--l, т -6, s = a, t~2 -
это компонента /?i2a- тензора кривизны в р/]2- на поверхности. Переходя к
его четырежды ковариантному представлению, имеем
atoRi*?. = Ri*ar- ~ (baib2).--ba2bix)
и по (10.18) следует принять а=--1, к2. Сославшись на (10.10), приходим к
представлению гауссовой кривизны через производные коэффициентов первой
квадратичной формы
([11, a) [22. Р1_
4212 2 \dqi* dqi* 0q^q2y
- [12, a] [12, f1])=----(блЬ22-^2)^-аК. (33)
5. Представления в линиях кривизны. В ортонормированном триэдре е,.
е2> ез
еа=ПГ1 = ГГ ' вз = п; йн ~ Hi ¦ а22=Н'1 0, У а --= Н,Н2. (34>
ца| а
В рассмотрении вводится плоская кривая Га - сечение поверхности
плоскостью векторов еа, п. Главная нормаль этой кривой (нормаль в стороне
вогнутости ее, к центру кривизны) обозначается гп, очевидно, что гп = еп,
8 = ± 1. По формулам для кривой
dm еа деа _ ш
доа ~ Ра ' доа ~ ра ' ('-5)
Здесь daa = Hadqa-элемент дуги на Га, ра-~ее радиус кривизны.
Было бы
ошибочно отождествлять главную нормаль in' в бесконечно близкой
точке 0/fi'
на Га с еп', п'-нормаль к поверхности в c/^''- Такое свойство присуще не
любой ортогональной сети на поверхности, а сети линий кривизны на ней.
Далее предполагается, что кривые [t/a[-линии кривизны. По их определению
три вектора еь п и пф-п^ dq1 расположены в одной плоскости
! 1
(e,Xn)-(n+n1d(?1) = 0, - е2-п, = тг р2-п, =--*"== 0.
П 2 П ^
Итак, на линиях кривизны
b\ = b\ = 0, 0. (36)
По (35), (36) и (11) имеем теперь
ni=-?p" = -tfpt. ~-b\^ ~=Ь1
Величины е.р~1, обозначаемые Д"1, называются главными кривизнами
поверхности- это взятые с надлежащим знаком кривизна глпзных нормальных
сечений Га. Итак, для линий кривизны
1 1 , Н\ Н\ " 1 ( 1 , 1
"Ill
СВЕДЕНИЯ ИЗ ТЕОРИИ ПОВЕРХНОСТЕЙ
495
Для координатных линий на поверхности, образующих ортогональную сеть,
символы Кристоффеля представляются выражениями
Эти формулы совместно с (37) позволяют переставить формулы Кодацци и
Гаусса в видах
Оставаясь па поверхности, принципиально невозможно определить кривизны
линий па ней. Но измерения на поверхности (знание первой квадратичной
формы) позволяют существам па ней констатировать наличие или отсутствие
гауссовой кривизны. Таково заключенное в формулах (30) и, в частности,
(41) содержание теоремы Гаусса- одного из величайших его достижений. В §
10 уже говорилось, что знание квадратичной формы (10.3) пространства трех
измерений позволяет установить, является оно евклидовым $3 или римановым
- в первом случае ;R --0, во втором JR Д 0. Аналогия с геометрией
