Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Рабинович М.И. -> "Введение в теорию колебаний и волн." -> 333

Введение в теорию колебаний и волн. - Рабинович М.И.

Рабинович М.И. Введение в теорию колебаний и волн. — НИЦ, 2000. — 564 c.
Скачать (прямая ссылка): vvedenievteoriuvoln2000.djvu
Предыдущая << 1 .. 327 328 329 330 331 332 < 333 > 334 335 336 337 338 339 .. 942 >> Следующая

r = eRR. (8)
Квадрат линейного элемента в ортогональных координатах представляется
выражением
dr • dr = H\dq,г+ Htdq^-y H%dq32 = ds2, (9)
а элементы дуг на координатных линиях [qk] равны
dks =Н kdqk- \ гк\ dqk. (10)
Для цилиндрических и сферических координат d]S = dr, Hi - Нr = 1; d2s =
rd(p, Н2 = Н =r\ d3s = dz, H3--Hz = 1. (И) diS = dR, H1 = HR- 1; d2s =
/?d$, Н2 = Н$- R\
d3s= R sin Д dЯ, H3 = H^--~R sin#. ^ j 21
3. Дифференцирование векторов ортонормированного базиса. Конечно,
могут быть использованы формулы § 4; предпочтительно избежать вычисления
символов Кристоффеля и прибегнуть к кинематическому способу подвижного
триэдра Дарбу (G. Darboux).
Пусть вершина aS ортонормированного триэдра es движется с единичной
скоростью г=1 по координатной линии [qm], так что
dms = H," dqrn - dt
(t - время). В каждом мгновенном положении триэдра векторы es в этом
движении должны приобретать направления касательных координатных линий в
точке ее движение поэтому сопровождается вращением триэдра вокруг
ОРТОГОНАЛЬНЫЕ КРИВОЛИНЕЙНЫЕ КООРДИНАТЫ
479
т
угловая скорость этого вращения обозначается со. По известной
формуле кинематики твердого тела скорости концов единичных
векторов относительно
вершины триэдра будут равны
dtс dts т
и искомые формулы приобретают вид
т т т
g^ - oxej, о = Нтт. (13)
т т
В рассмотрение вводится кососимметричный тензор Q, для которого о
является сопутствующим вектором
т т т т
' dq(tm) °РЧ'pK:q
Q = о X Е = о X е,^ = ts = oPQ epeQ (14)
с компонентами
т dtq
0p4=~d^'tp
т
и по (1.11.1) вектор о в ортонормированной системе ts представляется выра
жением
tn lm 1 de,
°Р<1 е'1Р1 ~2~dq(tm)"<ip e9Pfet'
По (4.3), (l) и (2) имеем
" " 1 fdgsk , dg1k dgs1 \ udHk dHk dHs
rsi-rft = - -Г7 + ^----TV ) = tis~7T "ski ni-- о/.; Hj--- ost =
2 \ dqi dqs dqk / dq1 dqs dqk
=~(Я,е,). Hktk = ^j- Hk&sk+HsHk^tk, oqr dqr oq1
q - - - (15)
^ " Ht ( dHk dHs \ dHk dHs
~ *th -------------- Oh ------ 0st -----------Obi---------0ci.
4* HsHk \ dqs dq* StJ Hs dqs Нкдцк$'
так что
de lq
Подстановка в (15) приводит теперь к соотношению т 1 ! дНр ^ дНд ^ ^
\ ТПЩч Ьр,п ~ Н " dqP bqm ) eqpi е'=
2 \Hqdq4 pm HpdqP
1 / dHn dHm \ дНт " ч/
- ( а п е9т1 и "^тР^ ) egXem -
2 \ Hq dq4 Нр dqP J Hq dq<i
Итак,
m лР дн
о = -J-=--(sHmXtn)Xts = tm-f--6 msvH,n. (16)
dqn Hs dqs
Это - искомые деривационные формулы базисных векторов ортонормиро-
т
ванного триэдра. Отметим, что векторы о часто можно определить без
вычисления, основываясь на их кинематическом истолковании.
480 ПРИЛОЖЕНИЕ III. СВЕДЕНИЯ ИЗ ТЕНЗОРНОГО АНАЛИЗА
Для цилиндрических координат
1 <р з
Hr = 1, #ф = т, #з=1; о = 0, о = угХеф = к, о = 0, (17)
как и следовало ожидать-движение триэдра по координатным линиям
[г]
и [г] - поступательное, а по окружности [ф] - вращение с угловой
скоростью
Ф
<о = к /г.
Отличны от нуля производные
:0ХеФ = -ео
Зег ф Зеф
--^оХег = е .
Зф ч> Зф
В сферических координатах
R Ъ
HR= 1, о = 0; H^ = R, о = V#Xe0 = e^Xefl, = e? ; Нк = R s.n О,
I
o = v#я Xex=(e" s;n Д+е# cos 0) Хег>=- efl, s.n Дф-e^cos 0 = k.
Отличны от нуля производные dtR <Эел
еЗе
ЗД
Зе#
дХ
= kxed = e^ cos Д,
-ек Хей = -ея,
деЪ , v дХ к
R
дХ
= к Хед = е?_ s.n -
(tR s n О-pcos Д).
Подстановка в тождества
д dth
д Зе/,
dqs dqi dqf dqs
выражений производных (13) приводит к равенству
(18)
(19)
(20)
(21)
д * д
- о X е/.---------------
dqs dq*
о Xe/j
t
Зо
до \ 1, (s ^ \
I ^ С/; -\- О , ч \ О s\Cfr ) ¦
dq* J
t
do
do
dqf
°Xo)
X tk = 0
oXej j =
(* 1, 2, 3),
откуда следует соотношение связи между векторами о
t S
do do ^ ^
-+оХо -=0. (22)
dqs dq*
4. Дифференциальные операции в ортогональных координатах. Вывод
приводимых ниже соотношений основан на представлении (4) набла-оператора,
S
на деривационных формулах и определении (16) векторов о.
а. Градиент вектора
et 3 даь
Vb - okak - osek
Hsdq*
и далее Si - ( оХе"
i-es oXem ¦ osek #j dqs Hs
dak j tTn Hs dqs Hs
е/г-
's 3 OXtm J
' = o-(e,"Xeft) =
dlH
Hm dq"
¦ 6,.
sk '
dHs
Hkdqk
§8]
ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ГАУССА - ОСТРОГРАДСКОГО И СТОКСА
Получаем
Va = estk(-^ (23) Sk\HsdqS HsHk dqk ^ Sk Hm Hsdq")
б. Линейный тензор деформации
z = t.( Aa.b~j- Os_dHj_ + (24)
2 ' *\Hsdq'^Hkdq* HsHkdqk HkHsdq" HmHsdq")
в. Дивергенция вектора
<3 as . am d\nHSR V'a dqs Hs +Hm dq'" ss'
у^(1пЯ +1пЯ2+1пЯ3) = У-1п
dqm ss dqm y 1 dqm s
Получаем
v.a = 1 A (JL H2H3Ch + ± H3Hia2 +-f3H1H2a3
V g dqs Hs lhHzH3 Xdq1 dq dq3
(25)
г. Ротор вектора. После замены esXek=-^- (е^Хе*-e*Xe5) получаем
VXa = ±i?2yL('y/4flft_yLtfA\ . (26)
2 HsHk \dqs dqk
д. Лапласиан скаляра. Полагая а = Уф в (25), имеем
1 f д Н2Н3 <Эт|5 д Н3Н1 Зф д HiHz Зф ,
V Vf~H1H2H3 [dq1 Hi. dql^dq2 Я2 dq^df H3 dq3 I ' ( 1
е. Дивергенция тензора второго ранга. По (6.4) получаем
v'Q=if;'dptstt4st=
¦(JL HiH3quzt+4-2H3Hi.q2t4 + 47i ) . (28)
~HtH2H3 \dq' г'"*4lTW_ra?*гз<?:
Далее используются формулы (16).
Хорошо приспособленные для вычислений в частных задачах, в которых за
редкими исключениями применяются ортогональные координаты, приведенные
Предыдущая << 1 .. 327 328 329 330 331 332 < 333 > 334 335 336 337 338 339 .. 942 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed