Введение в теорию колебаний и волн. - Рабинович М.И.
Скачать (прямая ссылка):
становятся стохастическими. Подобно этому, и в диссипативных системах при
изменении параметра возможен переход от периодического движения к
хаотическому на странном аттракторе. Во многих случаях такой переход
происходит путем последовательного удвоения периода движения вплоть до
некоторого критического значения параметра, за которым структура
аттрактора изменяется и движение становится хаотическим. Дальнейшее
увеличение параметра может привести к обратному процессу или к появлению
простого аттрактора другой симметрии. Еще одна интересная особенность
таких систем заключается в том, что обычно можно найти поверхность
сечения, на которой движение сводится приближенно к необратимому
одномерному отображению. Необратимость означает здесь многозначность
обратного отображения. Такие отображения возникают во многих физических
задачах и будут подробно рассмотрены в § 7.2.
Не все из перечисленных свойств легко увидеть из одного примера. Сейчас
мы рассмотрим первый пример странного аттрактора- модель Лоренца [283]. В
§ 7.4 мы снова вернемся к этому примеру для того, чтобы изучить
физическую систему, из которой он возникает. В § 7.1 рассмотрены другие
примеры, позволяющие шире взглянуть на различные явления, связанные с
хаотическим движением в диссипативных системах.
1.56. Модель Лоренца
Этот поучительный пример хаотического потока возник из гидродинамических
уравнений, описывающих конвекцию Рэлея-Бе-нара. Слой жидкости конечной
толщины подогревается снизу таким образом, что между верхней холодной и
нижней горячей поверхностями поддерживается постоянная разность
температур. Движение жидкости описывается уравнением Навье-Стокса.
Предполагая поток двумерным, его можно охарактеризовать двумя
переменными: функцией тока ф и отклонением В распределения температуры от
стационарного (линейного по вертикали).
Общий обзор и основные представления
77
Уравнения в частных производных для возмущенного потока можно
преобразовать к системе обыкновенных дифференциальных уравнений. Для
этого следует разложить функции ф и 0 в двойной ряд Фурье по х и г с
амплитудами, зависящими только от времени t. Оставив ограниченное число
членов, получим движение в конечномерном фазовом пространстве. Вывод этих
уравнений движения из уравнения Навье-Стокса приведен в § 7.4.
Лоренц [283] исследовал упрощенную модель, в которой было оставлено
только три "наиболее важных" фурье-амплитуды. В этом приближении
уравнения принимают вид
Х= - aX--oY,
Y=-XZ-rX - Y, (1.5.2)
Z = XY - bZ,
где X - амплитуда конвективного движения; Y - разность температур для
течений вверх и вниз; Z - отклонение вертикального температурного профиля
от линейного, а о, г, b - безразмерные параметры, физический смысл
которых обсуждается в § 7.4.
Модель Лоренца интенсивно исследовалась во многих работах (см. литературу
в работе [180]). Значения параметров о и & обычно фиксированы (ст =10, b
= 8/3), и поведение системы исследуется в зависимости от г. Перечислим
некоторые элементарные свойства модели Лоренца [252, 283, 411].
1. Уравнения инвариантны относительно преобразования: X - X, Y -+-Y, Z-
+Z.
2. Фазовый объем сокращается с постоянной скоростью (см. п. 7.1а)
Л = д- -ЁХ- л_ - = -1)
дХ дУ ' dZ
которая весьма велика для обычно используемых значений параметров: ст =
10, b = 8/3, Л да - 13,7. За единицу времени объем сокращается в е~Л да
106 раз.
3. При г = 0 и />0 решение ограничено и X, Y, Z ->- 0 для t -оо.
С ростом г характер решений меняется следующим образом.
1. Для 0<г<;1 единственным аттрактором является неподвижная точка в
начале координат. Это соответствует стационарной теплопроводности в
задаче Рэлея-Бенара.
2. Для г>*1 аттрактор теряет устойчивость и возникают две новые
неподвижные точки
Х\,2 - (+ [Ь (г- 1)] , ± [b (г- 1)] , г 1),
78
Глава 1
которые являются аттракторами для \<z_r<ir2, где
г2 = а (о -J- Ъ + 3)/(ст-6 - 1) = 470/19 да 24,74.
Это соответствует стационарной конвекции в задаче Рэлея- Бенара. ^
3. Для г>г2 не существует аттракторов типа неподвижных точек.
4. Для г~г>гх - 24,06 возникает странный аттрактор с хаотическим
движением. Заметим, что в узкой области
24,06<г< 24,74
z
Рис. 1.19. Хаотическая траектория на аттракторе Лоренца при г = 28 (по
данным работы [253]).
Плоскость (X, Y) соответствует Z = 27.
существуют три аттрактора. Два из них соответствуют стационарной
конвекции, а третий - хаотическому потоку. При этом в системе имеет место
гистерезис: если г растет, то регулярная конвекция переходит в
турбулентность при г = 24,74; если же г уменьшается, турбулентное
движение переходит в регулярную конвекцию при г = 24,06.
Лоренц исследовал численно случай г = 28. На рис. 1.19 [253] приведен
пример хаотической траектории, выходящей из начала координат и
пересекающей плоскость Z = 27. Вначале траектория подходит к Хг, а затем
раскручивается и притягивается к Х2',
Общий обзор и основные представления
79
после этого она уходит по спирали от Х2 и снова притягивается к Хх и т.
