Введение в теорию колебаний и волн. - Рабинович М.И.
Скачать (прямая ссылка):
464
ПРИЛОЖЕНИЕ II. ТЕНЗОРНЫЕ ФУНКЦИИ
При существовании скалярного потенциала (7.17)
F = 9q (13)
формальное представление Q через F выражается через производящую функцию
обратного преобразования - преобразования Лежандра
Ч' (Q (F))= F--QT (F) -Ф (Q (F)). (14)
Тогда
0 = фР. (15)
Действительно,
6-ф = фР• • SFT = SF • • СГ (F) + F• • 6QT - cpQ • • 6QT = Q• • 6FT,
откуда следует (15).
§ 9. Тригонометрическое преобразование В. В. Новожилова
В формулах (8.9), (8.12) вернемся к обозначениям (1.13.5) инвариантен dev
Q и введем аналогичные обозначения инвариантов dev F
G2 = - 4/2 (dev F), G3 = 4/3 (dev F). (1)
Использовав (1.13.9), можно представить теперь (8.9) в виде
Ga = oc2g2-Зсф /2 sin Зф-f ^P2g2=:
= gs (а- у Р j/-j-sin3i|^ -f (^у|3 j/ -y-cos Зф^) Этому равенству можно
удовлетворить, приняв
"-уР У -^-8шЗф= /С"
V4pcos з^ У
Отсюда получаем
C0S (М + 3,Ф) fi = _2 l/V )/______________________
У gi COS Зф V ёг V ёг cos Зф
и это позволяет придать представлению (8.5) тензора dev F вид
dev F -- У (cos Зф)-1 jcos (со f Зф) dev Q -
-2 У У |^(devQ)2- - g2E sincoj>. (4) Выражение (8.12) третьего инварианта
F преобразуется к виду
Q j
-3 У3 -77- =-----------[cos3 (со-|-Зф) sin Зф-)-3 cos2 (соф- Зф) sin ш-f
G,/2 cos3 Зф
-f 3 cos (co-|- Зф) sin2 соф-2 sin2 Зф sin3 со-sin3 to[.
После громоздкого, но вполне элементарного преобразования правая часть
преобразуется к виду
(3 cos2 со-sin2 со) sin cocos Зф-|- (cos2 со-3 sm 2 со) cos со sin Зф ---
-sin 3 (шф-ф),
- cos со, gs
G,
- sin со. (2)
sin CO
(3)
$9]
ПРЕОБРАЗОВАНИЕ В. В. НОВОЖИЛОВА
так что
О,-
s:n3 (ш-|- ip)
i G 2
'I 3
' S п 3/.
(5)
Выражение (1.13.9) позволяет приписать величине
X = ш Н - з)' (6)
ту же роль в задании dev F, что зр-в задании dev Q. Через % по (1.13.10)
определяются главные значения dev F
Vi =
sin X,
/ G2 . ( ,2л v2= у Ts.n Х + т
Поэтому
Ъ-Y-
При (о = 0
v3 =
sin Xs
Y ^sin(z
I XI <
gz sin
/G2 sin g2 i
in(co + %)
%-Y
Яз.
g2
dev F
sin ^
-Y
(s= 1. 2, 3).
g2
- dev Q,
(7)
(8)
O)
что следует и из (4). Это дало основание назвать со степенью подобия
девиато-ров-этой величиной характеризуется их "неподобие", а вместе с тем
степень "нелинейности" связи тензоров F и Q, так как одновременно с со по
(3) обращается в нуль |3 = ф2, ив исходном представлении (8.1) отпадает
слагаемое Q2.
Величины гр, со, G2, входящие в (4), определяются инвариантами самого
тензора Q и коэффициентами фц, ф, представления F через Q. Действительно,
по (1.13.9). (1.13.7)
q , з Уз
s,n3ip =----------
gz Ygi
и далее по (3) и (8.9)
j/'A ctg со = - j/~3 \
Y
2фт
.фГ
4 1 УД
cos Зф - -----------
g 2 У g 2
7j" 11 (Q) I g2 + 1
Ф! <
Яз.
g2
J
g2 \
фсйтфг [-$ g*1! (Q) I "2"
;ф2Л
\v,
(10)
(11)
(12)
В выражение связи первых инвариантов F и Q входит также ф0.
Представление (4) допускает немедленное обращение: достаточно заменить Ф
на %, о на -со
div Q= у^(cos ЗХ)-1 jcos (Зх-со) dev F
-1-2 У
G
'J2
(dev F)2-g- G2E
(13)
466 ПРИЛОЖЕНИЕ III. СВЕДЕНИЯ ИЗ ТЕНЗОРНОГО АНАЛИЗА
Приложение III. СВЕДЕНИЯ ИЗ ТЕНЗОРНОГО АНАЛИЗА
§ 1. Вектор-радиус. Единичный (метрический) тензор
Вводится система криволинейных координат q1, q2, q3. Место (положение)
точки о/Ц задается вектор-радиусом г, начало которого О фиксировано (г =
ОЛ1)
r = r(?1, 92, q3). (I)
Декартовы координаты точки -проекции вектор-радиуса на оси системы OXYZ,
задаваемые ортонормированной системой векторов 1г, i2, i3, обозначаются
*) а1, а2, а3
as = as(q1, у2, q3), r = i5a4. (2)
Предполагается, что в области их задания эти функции непрерывно
дифференцируемы и что отличен от нуля якобиан
das
dqk
Ф 0. (3)
При этом условии уравнения (2) однозначно разрешимы относительно qh.
В тензорной алгебре векторный базис определялся тремя произвольно
назначаемыми некомпланарными векторами гъ г2, г3. Здесь они принимаются
равными частным производным вектора места
дт (s-1,2,3) (4)
и в обозначении (1.1.9)
dqs
das
Ve= Г1-(Г2ХГ3) =
(5)
Якобиан можно считать положительным (надлежащим образом нумеруя
координаты).
В алгебре все операции были относимы к фиксированной точке, введение
криволинейных координат и векторного базиса (4) соответствует переходу к
изучению поля-сравнению величин (скаляров, векторов, тензоров) в
различных точках трехмерного евклидова пространства (§3. В нем возможно
задание положения любой точки, как это сделано выше, в единой декартовой
систем OXYZ.
Вектор dr = Q$cM', где а41' точка в бесконечно близкой окрестности оМ,
определяется формулой
dr=^dqs = rsdqs, (6)
так что квадрат линейного элемента (aSaS')2 представляется положительно
определенной формой
ds2 = dr-dr = xsdqs-rkdqk = gsk dqs dqk. (7)
Здесь и далее сохранены обозначения Приложения I: \\gs/i\\-матрица
ковариант-ных компонент единичного (метрического) тензора Е. Его
представления через контравариантные gsk и смешанные компоненты
даются формулами
(1.4.14). В декартовых осях
Е = М* (8)
*) Чтобы сохранить правило суммирования по верхнему и нижнему немым
