Введение в теорию колебаний и волн. - Рабинович М.И.
Скачать (прямая ссылка):
убеждаемся, что число различных собственных значений D не превосходит
числа различных собственных значений Q. Теперь теорема становится
очевидной. Для ее доказательства достаточно выразить диады е/ге/,. через
сам тензор Q. Чтобы добиться этого, выпишем систему уравнений
зз з
E=y>fte" Q='S'?ftefteft. Q2= ^ qhkek- (17)
/г=1 к = 1 k=\
Решение этой системы относительно диад efte/j единственно, если числа qк
все различны. Каждая из диад будет иметь вид
е;геЛ = Ф',г,Е + ф^ Q + фг^О2, (18)
где скалярные функции ф* ) являются инвариантами Q. Подставляя (18) в
(16) и учитывая, что dk также инварианты Q, получаем доказательство
теоремы в случае различных собственных значений тензора Q.; Если среди
собственных значений Q есть равные, например, qi = q2, то следует учесть,
что в систему (17) входят только два неизвестных тензора, а именно,
тензор е^Д-е2е2 и диада е3е3. Отбрасывая любое уравнение из системы (17),
за исключением первого, получаем систему из двух уравнений относительно
такого же числа неизвестных тензоров. По доказанному выше свойству
тензора D (dl=d2) в (16) входят именно эти неизвестные тензоры. Определяя
их, вновь приходим к представлению (7). Разумеется, теперь представление
это перестает быть единственным.
Изотропный тензор (7) с коэффициентами [см. (3.3)]
*-$• <i9>
где ф (/i, /2, 73)-изотропный скаляр, является производной ф по Q
Фо-фоЕЬфЛ + ФаО2, (20)
462
ПРИЛОЖЕНИЕ II. ТЕНЗОРНЫЕ ФУНКЦИИ
Ф - потенциал тензора F (Q). Существование потенциала требует выполнения
условий интегрируемости, получаемых исключением ф из (19)
( Ш1+-11Щ ) (ф1+ /1ф2) + Ш1(ф° - ш °' ^2+а/^(ф1+ф2/1)";0'
|^_/1^(ф1+ф2/1)_аГ3(Фо_/2ф2)==0' (21)
Часто предпочтительна запись F (Q) в форме
F (Q) = ф0Е +1I5iQ +'Ф-iQ-1> 'Фг=ф'г(р1' РЕ Е
Здесь
, ^ , ,7 дф>
¦фо - Фо ^2ф2 "Ь Pi ~Qf% ' Ф1 ф!+ ' 1Ф2 - ^ >
; г дф Ф-1 - 1 зф2 - 13 ¦
§ 8. Обращение формулы связи между тензорами
В нелинейной теории упругости роль тензоров F и Q отводится надлежащим
образом определенным тензорам напряжения и деформации. Возникает (для
изотропной среды) обратная задача: из соотношения
р = ФоЕ-Ьф10+ф202> (1)
в котором ф0, ф!, ф2-функции инвариантов Ik(Q), выразить Q через F
Q = XoE + XiP+X2F2. (2)
Намечается такой ход вычисления: подставим в (2) значения F и F2, причем
тензоры Q3, Q4 в представлении F2 заменяются через Е, Q, Q2 с помощью
теоремы Гамильтона - Кэли; вслед за этим коэффициенты при Е, Q, Q2 в
правой части так преобразованного уравнения (2) приравниваются 0, 1,
2. Это приводит к системе трех линейных относительно коэффициентов Хо>
Xi, Х2 уравнений, выражающих их через ф0, ф!, фг и инварианты /&(Q).
Инварианты /^ (F) выражаются через Ik(Q) по уравнению (1) и получаемым из
него представлениям F2, F3. Найденные так 1к(F) окажутся полиномами от
/^(Q), если предположить, что ф/, также полиномиально зависят от Is(Q).
Обратное представление инвариантов Is (Q) через /*(F) поэтому нельзя
получить в общей алгебраической форме.
Этот ход вычисления можно несколько упростить, заменив тензоры Q и F их
разбиениями на шаровую часть и девиатор
Q=jMQ)E+devQ, F = l/1,_(F)E + devF. (3)
Здесь по (1)
/i(f)=39o+9v/1(q)+92/1(q2), (4)
так что
dev F =фгО+ ф2С12- -j Е [ф^т (Q) + <pa/i (Q2)] = фт dev Q +
+Ф1[У_1е/1(о*)].
Здесь Q2 также следует заменить через devQ
Q2 = -~ fi2(Q)E + -|/1(Q)devQ+devQ2.
§8] ОБРАЩЕНИЕ ФОРМУЛЫ СВЯЗИ МЕЖДУ ТЕНЗОРАМИ
Сославшись еще на (1.13.3), получаем
dev F = a dev Q Д- p
(devQ)4-y/2 (dev Q) E j
a= Ф1Д--3 h (Q) ф2. р-фз-
463
(5)
(6)
Но в аналогичном виде записывается представление dev Q через dev F
dev Q = ax dev F Д- p.
(dev F)2+j /2 (dev F) E
(7)
Следуя намеченному ходу вычисления, теперь имеем
dev Q
= "i|
a dev Q-f P Д-р, -j a2 (dev Q)24 2оф
(dev Q)2 Д-- 12 (dev Q) E
(dev Q)3 Д-- /2 (dev Q) dev Q
(dev Q)4 -f-i 12 (dev Q) (dev Q)2+4- E/f (dev Q) Д--|- E/2 (dev F)
}•
(8)
причем /2 (dev F) определяется условием равенства нулю первого инварианта
выражения справа
/2 (dev F) = a2/2 (dev Q)-3ap/3 (dev Q)-j p2/2 (dev Q). (9)
Заменив еще (devQ)3, (dev Q)4 в (8) по теореме Гамильтона - Кэли, придем
к двум уравнениям
aia+ PiP
- у a/2 (dev Q) -]- P/3 (dev Q)
aiP Д-Pt
a'2 +у p2/2 (dev Q)
= 0.
Из них находим a,, рь а после подстановки в (7) получаем
dev 0 =
а2Д-у р3/2 (dev Q)
dev F -р ] (dev F)2+-g- E/2 (dev F)
H = а3Д- /2 (dev Q) ap2-p3/3 (dev Q).
. (10) (П)
Задача обращения не решена, так как в (10) входят /д. (Q). К двум
уравнениям (4) и (9) связи между инвариантами следует добавить третье для
/3 (dev F). Для этого предварительно потребуется выразить (dev F)3 по
(5); для вычисления /3 (dev F) придется дополнить (1.13.11) формулами
/1 ((dev Q)6) = - 5/2 (dev Q), _ /, ((dev Q)e) = - 2/1 (dev Q) + 3/1 (dev
Q).
Приходим к выражению
73(devF) = a3/3 (dev Q)+-|-a2p/l (dev Q)- •
- сф2/2 (dev Q) /3 (dev Q)-\- p3
Is (dev Q) + ^ /5 (dev Q)
. (12)
Причем a, p здесь и в (4) и в (8), напомним, функции Ik(Q). Конечно,
выразить из этих уравнений Ik (Q) через /, (F) в общем виде невозможно.
