Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Рабинович М.И. -> "Введение в теорию колебаний и волн." -> 326

Введение в теорию колебаний и волн. - Рабинович М.И.

Рабинович М.И. Введение в теорию колебаний и волн. — НИЦ, 2000. — 564 c.
Скачать (прямая ссылка): vvedenievteoriuvoln2000.djvu
Предыдущая << 1 .. 320 321 322 323 324 325 < 326 > 327 328 329 330 331 332 .. 942 >> Следующая

быть заменены согласно теореме Гамильтона - Кэли (1.9.21) линейными
§7]
ТЕНЗОРНЫЕ ФУНКЦИИ ТЕНЗОРНОГО АРГУМЕНТА
459
относительно Q° = E, Q, Q2 выражениями с коэффициентами Ik{Q). Тензор р
(Q) окажется представленным квадратичным трехчленом
Коэффициенты трехчлена в (7) определяются следующим образом. Заменив в
представлении (2) целой функции степени X выше второй с помощью
характеристического уравнения
$"(*.) = -№+/! (Q) X2- /2 (Q) % + /3 (Q) = (\i-X) (Х2-X) (Х3-X) = 0 (9)
а задав X значения Xj, Х2, Х3, придем к трем уравнениям с неизвестными
Но корни ks - функции коэффициентов уравнения (9), так что фг
преобразуется к виду (8). В дополнение следует отметить, что если К (X) -
полином от X, то суммы вида
полиномиально представимы *) через коэффициенты уравнения (9)
а0 = О, О! = 0, а2 = -1, а3 = -MQ). а4 = - /? (Q) + /2 (Q), ...
Итак, если известно, что F (Q) полиномиально зависит от Q, иначе говоря,
компоненты F - изотропные полиномы от компонент Q, то фг - полиномы от
инвариантов Ik(Q),
Для справедливости (7) существенно только наличие целой порождающей
функции (2). Функциями (3), которые порождаются таким образом, не
исчерпывается, конечно, весь класс тензорных функций. Так, например,
линейная тензорная" функция F,'(Q) = 4М--Q, где 4М- изотропный тензор 4-
го ранга, не
*) Эти формулы можно получить из представления [^(Х)]-1 разложением на
простейшие дроби
и сравнением коэффициентов разложений левой и правой частей этого
равенства по степеням X-1.
F (Q) - ф0Е -f- ф40 -f- фгО2 с коэффициентами, зависящими от инвариантов
Ik(Q)
Фг=Фг(Д^). MQ). 1 з (Q)) (Г = 0, 1, 2).
(8)
(7)
приведем (2) к виду
F (X) = Фо + ФгХ -L фгХ2,
(10)
ф0. ф1- ф2
F (Х.г) = ф" + ФА-! ф2Х52 (s = 1, 2, 3).
(П)
Их решения при обозначениях (1.9.8) представимы в виде
з
з
з
(12)
з
460
ПРИЛОЖЕНИЕ II. ТЕНЗОРНЫЕ ФУНКЦИИ
представима в виде (2), если Q - несимметричный тензор. Однако, если
ограничиться классом изотропных функций от симметричных тензоров, то
представление (7) останется справедливым. Имеет место теорема: всякая
изотропная функция D = F (Q) от симметричного тензора (Q = QT) допускает
представление вида (7).
Доказательство*). Очевидным является утверждение, что любой инвариант D
одновременно является инвариантом Q. Действительно, скалярная функция
тензора называется инвариантом этого тензора, если справедливо
соотношение
J (D) = / (0T-D-0), VO: 0Т-0 = Е. (13)
Обозначим инвариант F (Q) через J [F (Q)]; можно написать 7[F(Q)] =
/i(Q).
Докажем, что если J инвариант F, то 7, инвариант Q. Согласно (13) и (1)
имеем
J [F (Q)] ^ J1 (Q) = / [От- F (Q)-O] = J[F (0T-Q-0)] = (0T-Q.O),
откуда вытекает, что Jj - инвариант Q.
Убедимся теперь, что область значений изотропных функций симметричных
тензоров есть множество симметричных тензоров. Для этого введем
в рассмотрение группу симметрии тензора Q, которую обозначим через 0Q
Последняя определяется как множество ортогональных решений уравнения
0TQ0 = Q, Q = QT. (14)
Для симметричных тензоров группа 0Q всегда содержит подгруппу Oq
з
°Q= 2 е*е*е*' = (!5>
k- 1
где ек-собственные векторы Q, tk-ts=^bks. Если собственные числа Q все
различны, то Oq совпадает с Oq. Обозначим через 0D группу симметрии
D=F(Q). Докажем, что 0D содержит 0Q. Действительно, пусть 0?0q. Тогда,
согласно (1) и (14), имеем
0T-D-0 = F(0T Q.0) = F(Q) = D, О ? Oq.
Отсюда вытекает, что О ? 0Q принадлежит 0D, следовательно, Oq есть
подгруппа 0D
Представим D в базисе главных осей Q
з
°= 2 Dks^s
k, s = 1
и потребуем, чтобы тензоры Oq принадлежали группе симметрии D. Тогда
получим
з з
2 D^skesekes= 2 Dks^s-к, s= I s, k= 1
Отсюда вытекают равенства
Dkse,kzs = Dks (не суммировать по к и s).
*) Принадлежит П. А. Жилину.
§7]
ТЕНЗОРНЫЕ ФУНКЦИИ ТЕНЗОРНОГО АРГУМЕНТА
461
Выбирая числа ek так, чтобы в;,е6. =-1 (k Ф s), получаем Dks = 0 (k Ф s).
Указанный выбор чисел e/f всегда существует: действительно, выбирая из
множества тензоров (15) такой, у которого е," (т-фиксированное число из
интервала 1, 2, 3) равно 1, а остальные 6* = - 1, получаем Dms = 0 (s Ф
т). Меняя теперь т, т. е. переходя к другим тензорам из (15), получаем
требуемое свойство. Таким образом, для D получили следующее
представление:
з
D=2dfte*eft, dft = D**, D = DT. (16)
k=\
Из этого равенства видно, что главные оси Q одновременно являются
главными осями D, а коэффициенты dk являются собственными числами D и,
следовательно, его инвариантами. По доказанному выше они представляют
собой и инварианты тензора Q. Отметим теперь следующее важное свойство
собственных чисел dk. Если два каких-либо собственных числа тензора Q
совпадают, то совпадают и соответствующие собственные числа тензора D.
Действительно, пусть собственные числа Q, скажем, qx и q2, совпадают.
Тогда к группе симметрии принадлежит, например, ортогональный тензор
0 = е1е8+ е2ег-Ье3е3, 0?Oq.
Значит, этот тензор принадлежит и к группе симметрии D, что возможно
тогда и только тогда, когда аД - d2. Немного расширяя это рассуждение,
Предыдущая << 1 .. 320 321 322 323 324 325 < 326 > 327 328 329 330 331 332 .. 942 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed