Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Рабинович М.И. -> "Введение в теорию колебаний и волн." -> 323

Введение в теорию колебаний и волн. - Рабинович М.И.

Рабинович М.И. Введение в теорию колебаний и волн. — НИЦ, 2000. — 564 c.
Скачать (прямая ссылка): vvedenievteoriuvoln2000.djvu
Предыдущая << 1 .. 317 318 319 320 321 322 < 323 > 324 325 326 327 328 329 .. 942 >> Следующая

2. Производная произведения тензоров
6P-S = (6P)-S + P-6S -(Pq--6Qt)-S + P-Sq--SQt.
Но по правилу (6) в первом слагаемом 6QT должно быть перенесено вправо.
Применив (1.15.4), имеем
6QT -Сш • • 6QT- rsr, (Hr*• • 6QT), (PQ • • 6QT) • S = (PQ • • W) •
SHr*• • 6QT,
так как скаляр в скобках переносим вправо. Получаем
(P-S)Q = P.SQ+(PQ--r^).SrV=-[P-(SQ.-r^) + (PQ..r,rr).S]r'r^ (10)
так как Sq-¦rJJr(r,r's = SQ--Сш = Sg.
3. Замена независимого переменного. Тензор Р предполагается зависящим от
Q через посредство S(Q). Тогда
6P=Pq..6QT = Ps--6Sr, 6S = Sq--6Qt, 6ST= = С,, • -6S -Си • -SQ • -6QT,
Pg •= PS- -Сц "Sq - - PS' -TsTf (Г*П- -Sg).
Аналогично и для скаляра
Ф<} - Фз ' '^ir 'Sq=Ts ' -^Q' так как ф5"Сц = ф* по (1.15.4).
4. Производные Q, Q2, Q-Qr, QT-Q, Q-1. Имеем
8Q - С,,- -6Q1, 6Qr -Сш- • 6Qr; Qq=C", QTQ=Cm, QqT=Ciu. (13)
Далее по (10)
(Q2)q =Q-C" + r(ri-QrV = (Q-rfri + rrri-Q) Hr*, *
(14)
(Q-QT)g - (Q-rirt + r)r5-QT)r<rs, (15)
(QT ¦ Q) Q -- (QT ¦ r,rs + rsrf • Q) Hr*. (15)
Имеем далее
Eg -0=(Q.Q-1)g^(Clrrjrt).Q-1r<r^-Q-(Q-1)g = r<rJ.Q-1rfr*+Q.(Q-l)Q-
?> JJ
ИЗОТРОПНАЯ СКАЛЯРНАЯ ФУНКЦИЯ ТЕНЗОРА
453
так что
(Q-1)Q=-Q-1TtrJ-Q-'r'r*. (17)
Для симметричного Q формулы (13), (14), (17) приводятся к виду
Qq =y(Ci,+Cni), (18)
(Q% =у (0'(гДН-(19) (Q-1)Q=-y Q-'-niva-1 (r^+rV). (20)
5. Производная первого инварианта произведения тензоров. Имеем
Ыг (P-S) = 6 (P--S) = P--6S + S--6P==(P--SQ-bS--PQ)..6QT,
7i (P-S)q = Р• • SqS--Pq. (21)
6. Вторая вариация скалярной функции тензора. Сохранив в ряду Тейлора
скалярной функции (2.1) тензора Q квадратичные по 6qsi слагаемые, имеем
4гф = ф(9п+6р11, .... 9" + 69*1)-ф(9", ...,931)-
= -^-б^-|-!----------- bqmn bqst.
dqsi 2 dqmn dqsi
По (2.7) и его определению производной тензора по тензору (4)
cp0 = rV-^- , ф00 -= г^г'г^г"-~-. (22)
dqst dqmn dqst
Непосредственно проверяется запись
=fiQT..<pQQ-.SQT.
dqmndqst
Приходим к выражениям
Дгф^- бф-!-б3ф, бф=-ф0--бПт, 62ф=у 6QT--фдд ¦ -('QT. (23)
§ 5. Изотропная скалярная функция тензора
В I. § 8 через qmn, q'mn обозначались компоненты подвергнутого
ортогональному преобразованию тензора Q
Q' = 0T-Q.0 (1)
соответственно в векторных базисах "старом" и "новом" rs. Конечно, qmn -
== q'^n и поэтому скалярная функция компонент Q не изменяет
вида при
'Такой замене переменных
9(qu> q22, •••, q31) = 9(q'u, q'22, ..., q'31).
При замене же переменных qmn на qmn
Ф(д1х, д22, ..., g31)==T(qn' q22. q31)
(см. (2.1)] сохраняется числовое значение скалярной (скалярнозначной)
функции (при любом, не только ортогональном преобразовании), но не форма
функциональной зависимости ф от qmn. Но она может оставаться и
неизменной; Например, если ф зависит только от инвариантов.
454
ПРИЛОЖЕНИЕ II. ТЕНЗОРНЫЕ ФУНКЦИИ
Ограничиваясь ортогональными преобразованиями, назовем скалярную функцию
компонент тензора изотропной, если она сохраняет форму зависимости от них
при любом ортогональном преобразовании *)
VOcro: ф (q11, 9а1) = ф(9п, Г1). О
Такое свойство функции ф может выполняться не для всех ортогональных
преобразований, а некоторой их подгруппы ох а о. Скаляр называется
изотропным в этой подгруппе - это свойство, как увидим, связано с
зависимостью его от определенных сочетаний функциональных аргументов.
Если ф - удельная потенциальная энергия, то принадлежность к той или иной
подгруппе определяется свойствами симметрий среды.
В определении не исключены несобственно ортогональные преобразования, так
как повернутый тензор (1) не изменяется при замене О на -О, a det (-О) -=
-detO= 1.
1. Триклинная подгруппа ортогональных преобразований включает лишь
единичный тензор 0 = Е. Любой скаляр изотропен в этой подгруппе.
2. Моноклинная подгруппа содержит преобразования поворотов на угол д,
вокруг фиксированного направления с3. По (1.8.16)
0^ = 2clCl-E = (0^)T. (3)
Представление тензора Q в ортонормированном триэдре clf с2, с3 задастся
выражением
Q = (?llc1c1+91" (CjCcc -1 cacjH-<?aPcaC|3 (а, р = 2, 3). (4)
Повернутый тензор равен
Q'- (0")T.Q-Oj:i = (2c1c1 - E)-[i?llcic1+?1"(c1ca-|-cac1)+9"I5cacp]-
(2c1c1 - Е) --
= <?11cic1-|- ?аРсаср - qla (CiCa+CaC,)
и изотропный в моноклинной подгруппе тензор сохраняет форму зависимое и
от компонент тензора Q в ортонормированной системе сь с2, с3 при
преобразовании переменных
(g11, q2'2, q'3i, q12, q23, q21)->(911, ?22, <?33' -<?12, <?23, -Cu)> <5)
как можно было предвидеть. Мы ограничимся рассмотрением полиномиальных
представлений ф через компонент Q. Существует лишь только три комбина-
нации х'2, у2, ху, оставляющие полином F (х, у) неизменным при замене
знаков x = q12, y = q21. Итак, представление изотропного в
рассматриваемой подгруппе скаляра имеет вид
ф-ф (911. 922> 9:33> 9122> <?23> 9312> <?12?31). (6)
3. Группа ортотропии. Изотропный в этой подгруппе скаляр сохраняет вид
при преобразовании (5), но и при преобразовании
(g11, q2'2, q22, q'2, q2'2, q'n)->- (?u, q22, q33, -q12, -q22, q31).
0)
Это соответствует тому, что в подгруппу преобразований включен также
Предыдущая << 1 .. 317 318 319 320 321 322 < 323 > 324 325 326 327 328 329 .. 942 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed