Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Рабинович М.И. -> "Введение в теорию колебаний и волн." -> 32

Введение в теорию колебаний и волн. - Рабинович М.И.

Рабинович М.И. Введение в теорию колебаний и волн. — НИЦ, 2000. — 564 c.
Скачать (прямая ссылка): vvedenievteoriuvoln2000.djvu
Предыдущая << 1 .. 26 27 28 29 30 31 < 32 > 33 34 35 36 37 38 .. 942 >> Следующая

изменение J 2. Однако при наличии еще одной степени свободы или в случае
зависимости гамильтониана от времени последнее ограничение отпадает, и
становится возможным движение вдоль стохастического слоя по /,•
Рис. 1.17. Быстрая диффузия идет поперек стохастического слоя, а медлен'
ная диффузия Арнольда-вдоль слоя.
При взаимодействии трех резонансов скорость диффузии Арнольда была
найдена Чириковым [70] и Теннисоном и др. [40611 ). Это рассматривается в
гл. 6. В общем случае взаимодействия многих резонансов строгая оценка
сверху была получена Нехороше-вым [314]. Однако, вообще говоря, она
значительно завышает скорость диффузии. Обзор численных экспериментов по
диффузии Арнольда в области взаимодействия многих резонансов [72 ] дан в
гл. 6.
§ 1.5. Диссипативные системы
В отличие от гамильтоновых систем с их фундаментальным законом сохранения
фазового объема для диссипативных систем характерно его постоянное
уменьшение со временем. Это приводит к тому, что все траектории движения
притягиваются к некоторой поверхности (аттрактору), размерность которой
меньше, чем у исходного фазового пространства. При этом уравнения
движения уже не являются каноническими, но их можно записать, вообще
В Первые оценки для скорости диффузии Арнольда приведены в [146].- Прим.
ред.
74
Глава 1
говоря, в виде системы дифференциальных уравнений первого порядка:
J^=V(x), (1.5.1)
at
где для iV-мерного фазового пространства векторы х и V имеют N компонент.
Траектория х (/) называется в этом случае ЛПмерным потоком. В случае
регулярного потока движение на аттракторе является простым. Это может
быть, например, неподвижная точка (фокус) или периодическая траектория
(предельный цикл). Для двумерных потоков существуют фактически только эти
две возможности.
Для трехмерных потоков, помимо фокусов и предельных циклов, возможны и
квазипериодические траектории с двумя основными частотами. По аналогии
можно было бы ожидать, что это и есть единственно возможные аттракторы.
Однако это не так. Было показано, что в трехмерных (и большей
размерности) диссипативных системах существуют аттракторы с очень сложной
геометрической структурой. В частности, они имеют дробную размерность
(см. п. 7.1в) и называются обычно странными аттракторами. Движение на
странных аттракторах является хаотическим х).
1.5а. Странные аттракторы
Грубо говоря, странный аттрактор-это такой аттрактор, на котором близкие
траектории расходятся экспоненциально. В качестве примера представим себе
трехмерный поток в виде слоя из бесконечного числа двумерных листов. Слой
растягивается вдоль одного из направлений и складывается, как показано на
рис. 1.18, а. При этом края слоя (А В и А'В') гладко соединены между
собой. Так как на краю А'В' имеются два отдельных листа, а на краю А В
только один, то для гладкости их соединения необходимо бесконечное число
листов. В противном случае возникли бы разрывы, ведущие к необратимости
потока. Эскиз окончательной структуры такого аттрактора представлен на
рис. 1.18, б.
Из схемы аттрактора видно, что, несмотря на экспоненциальную
расходимость, траектории ограничены 2). Далее, оказывается, что
Э Термин "хаотический" обычно используется для описания случайного
движения в диссипативных системах, тогда как термин "стохастический" чаще
относится к гамильтоновым системам. Хотя мы и пытались придерживаться
такого соглашения, не следует думать, что эти два термина соответствуют
различной "степени случайности"; по существу мы рассматриваем их как
синонимы.
2) Проблема согласования расходимости близких траекторий на аттракторе
с его ограниченностью возникает только при минимальной размерности
аттрактора, равной двум (имеется в виду обычная, целая размерность, ср.
п. 7.1в). При большей размерности расходимость в линейном приближении
сменяется перемешиванием траекторий; хаотический аттрактор может иметь
при этом простую форму, например, тора.- Прим. ред.
Общий обзор и основные представления
75
А
б
Рис. 1.18. Схематическое изображение странного аттрактора (по данным
работы [368]).
а - слой из бесконечного числа листов растягивается и складывается; б -
вид аттрактора после соединения каждого листа по линии АВ с соседним по
линии А'В'.
76
Глава 1
структура аттрактора повторяется на все более и более мелких
пространственных масштабах. Такая масштабная инвариантность, характерная
также и для структуры резонансов в гамильтоновых системах, служит основой
анализа динамики как гамильтоновых, так и диссипативных систем. Подобная
многослойная структура, которую можно описать математически как некоторое
канторово множество, рассматривается в § 7.1.
Уравнения (1.5.1), приводящие к возникновению странного аттрактора,
зависят обычно от некоторого параметра (аналогичного величине возмущения
в гамильтоновых системах), изменение которого меняет характер движения.
На примерах модели Хенона- Хейлеса и ускорения Ферми мы видели, что в
гамильтоновых системах при увеличении возмущения траектории из регулярных
Предыдущая << 1 .. 26 27 28 29 30 31 < 32 > 33 34 35 36 37 38 .. 942 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed