Введение в теорию колебаний и волн. - Рабинович М.И.
Скачать (прямая ссылка):
а'{ - - 'Гпп отн
Чsk ~ 's 1 'к ' Чти' Ч -г '/я1 ги7 >
a'jk ^ V m n
Чъ 's 1 1 'пЧт-
Инварианты тензора. Так называются функции его компонент, сохраняющие
неизменную, не зависящую от выбора базиса величину. Скаляр (тензор
нулевого ранга) - инвариант. Распространенное словоупотребление "проекция
вектора-скаляр" или "скалярные уравнения движения" неприемлемо.
J7] ПРЕОБРАЗОВАНИЕ КОМПОНЕНТ ТЕНЗОРА. ИНВАРИАНТЫ 431
Любая функция инвариантов - инвариант. Инвариант вектора (тензора первого
ранга) - квадрат его длины. Это подтверждается вычислением
а2 - aVsa^ =ак r'v-rsv rVs-rma"' = akamrk-Е-rm - акак.
Вектор не имеет инвариантов, отличных от функций его длины. Симметричный
тензор второго ранга имеет три независимых инварианта. Здесь
рассматриваются его алгебраические инварианты, выражающиеся через
компоненты тензора с помощью действий сложения и умножения. Это -
линейное, квадратичное и кубическое относительно компонент тензора
выражения, обозначаемые /i(Q),
/,(Q). MQ).
Линейный инвариант Д (Q) образуется с помощью операции двойного
свертывания Q с единичным тензором Е
/iCQJ-E-.Q. (4)
Развернутая запись имеет вид
Е ¦ • Q r-srs • • д-у'гт = г, ¦ r"rs • г "С = 6^ПС = КС = < (5)
- скалярно перемножаются внутренние и наружные базисные векторы. Этот же
конечный результат достигается, конечно, если пользоваться другими
компонентами Q, например,
Е • • Q = gskrsrk¦ ¦qmnrmrn = gskgkmgsnqmn = b*ngsnqmn = gmnqmn =-- q"
и т. д. Можно прийти к этим же формулам, заменив в диадном представлении
тензора диады базисных векторов их скалярными произведениями или составив
• произведение тензора слева и справа на векторы основного и взаимного
базиса одинакового номера
h (Q) = qstrs-*t=gstqst = Я'/, h (Q) = rm • Q-r"1 =gmsqsm = r" • Q- Tm.
(6)
Все эти выражения представлены в записи (4), не содержащей векторных
базисов; поэтому они сохраняют свою величину в любом базисе. Достаточно
принять E = rvsr^, чтобы сразу же получить
/1(Q) = E..Q = 9;s = (?y-s.
Линейный инвариант тензоров Q2, Qs по (4) и (6.2) представляется
выражениями
I г (Q2) = Е - 'Q?-- q'"q'*, Ьт = Я?Я'пЯЬ СП
Квадратичный инвариант /2 (Q) можно определить, как линейный инвариант
MQx) тензора алгебраических дополнений (5.6)
h (Q) = /, (Qx) = Т Е. • etkte""Pq-^T*rn =
= | Ь'т*'>*епаряХ=\ Ш-ЬПЛ) яХ = Т W-яХ) (8)
и по (5), (6) его можно представить выражением
м") = у (/i(Q)-/i(Q2))- (9)
Третий инвариант /3 (Q) = det Q. По (5.3)
/3 (Q) = detQ = 4
б пг % s h t ^ я1 я* я'1
К К К Як Як ЯЛк
б'/1 б? б? я1 я}к я1
(10)
432
ПРИЛОЖЕНИЕ I. ТЕНЗОРНАЯ АЛГЕБРА
Развернув этот определитель и использовав (5), (7), (9), придем к
формулам \_
6
/. (Q) = 4- [/1(a) - З/l (Q) h (Q2) + 2/i (Q3)] =
Vi (Q3)-/i (Q)+3A (Q) h (Q)] • OD
Если Q - неособенный тензор, то по (6.6) и (9)
'¦(Q~I> = daQ~'-77W' <12"
причем второе соотношение получено из первого заменой Q-1 на Q.
Легко проверить, что Ix (Q) = Ix (QT); сославшись на (8) и (10), имеем
поэтому
/* (Q) = /& (QT) (ft = 1,2,3). (13)
Доказываемая в § 9 теорема Гамильтона - Кэли
Q3 = /i(Q)Q2-/2(Q) Q+E/3(Q) (14)
позволяет последовательно представлять тензоры 0"(геЗгЗ) линейно через
Q3, Q, Q° = E с коэффициентами /1 (Q), /а (Q), /в (Q)* Число независимых
инвариантов тензора второго ранга равно трем-это (Q) или (Q*) (й = 1,
2,3). Конечно, инвариантна любая функция этих инвариантов.
Свертывание произведения тензоров. Основываясь на определении (6.1) и
правиле свертывания (6), имеем
h(^-Q) = Pstqt,lrs-Tn = psiqts = I1 (Q-P).
Но, когда составлялось произведение P = p^rJIrt на Q = qmnrmrn,
свертывались векторы г* с тт. Поэтому вычисление инварианта/х (Р-Q)
сводится к двойному свертыванию
h (P-Q) = E--P-Q = P-.Q = prirfrf- ¦qmnrmrn = pstqmnrt-rmrs-rn = pstqu.
(15) Аналогичны правила двойного свертывания трех тензоров
I, (P.Q.S) = P-QS = PQ--S = S-P-Q (16)
и большего числа тензоров. Напомним еще, что
h (P-Q) = /i ((P-Q)T) = /i (QT-P*). (17)
Далее эти правила многократно используются.
§ 8. Ортогональный тензор
Тензор О называется ортогональным, если он представляет решение уравнения
О • От = От • О = Е => От = О~1. (1)
Пусть а, Ь векторы, преобразуемые тензором О по правилу (4.5) в а', Ь'
а'=а-0 = От.а, Ь' = Ь.О = От.Ь. (2)
Тогда
а'-b' = а-0-От-Ь = а-Е-Ь = а-Ь (3)
и, в частности,
а'.а' = а'2 = а-а = йа (4)
- ортогональное преобразование не изменяет длины вектора и сохраняет угол
между векторами.
§8]
ОРТОГОНАЛЬНЫЙ ТЕНЗОР
433
Полагая
0 = of<rirf = o-"r'Brn, ' (5)
имеем
0.0Т= о^о%г^'Тпгт = o°to?rsrm - Е = 6fnr5r"
- приходим к шести условиям ортогональности, записываемым в видах
04°т = 6т> °st°mt = bSm> g*sgtrOktOmr = SSm. (6)
На девять компонент О наложено шесть связей-ортогональный тензор
определяется тремя независимыми параметрами. Далее,
detO=detOT, (detO)2=l, det 0=1 или . det 0 = -1. (7)
При det Q = 1 тензор называется собственно-ортогональным, им
осуществляется поворот системы векторов; ниже приводится представление
тензора О через угол осуществляемого им поворота и единичный вектор оси
