Введение в теорию колебаний и волн. - Рабинович М.И.
Скачать (прямая ссылка):
Векторное произведение по (2.4) представляется выражениями с = аХ b =
asbkesktri - asbkesktrt, ct = asbkeski, ct = asbkeskt.
Как пример, приведем преобразование
ах (Ь х с) = at6 W х е , kqr4 = atb4ke^meskqTm =
= atbsckTm {b?bk - Ьк 6s) = Ь*г3а^-сктксцЬ* = ba-с - са- Ь,
что и требуется.
Проверим еще соотношение
rJtXrJI = 0.
426
ПРИЛОЖЕНИЕ I. ТЕНЗОРНАЯ АЛГЕБРА
Действительно, по (2.8) r*Xrs = i- rsX(rkxrt) = y еШ (№~Wrt) =
= ^(e'*-e"W=e"W~0)
так как gsk = gks> но etks = ~ekts.
§ 4. Тензор второго ранга
Рассматривается преобразование тройки величин ak (матрицы столбца, с
помощью умножения ее слева на квадратную матрицу qsk в тройку bs (матрицу
строки)
bs = Qskak (s= 1, 2, 3). (1)
Приняв, что ак - контра-, a bs ковариаптные компоненты векторов а и Ь,
можно записать соотношения (1) в виде
b = qskahs = qskrsvk-a.. (2)
Эквивалентные записи сопоставления вектору а вектора b можно получить,
используя другие представления их компонент
bs = qskak, b = qskrsrk-a-,
ь = <7?Аг*г*-а, b = ?;Viva. (3)
Величиной
Q = 4skrsrk = qskrsrk = q%rsrk = qfr*rk, (4)
называемой тензором второго ранга, задается преобразование вектора в
вектор, записываемое в форме произведения справа тензора на вектор
b = Q-a. (5)
Здесь одной физической величине (вектору а) сопоставляется другая (вектор
Ь), поэтому следует считать объект Q величиной, наделенной физическим
содержанием. Для задания Q в основном и взаимном базисах используются его
ковариантные (qsk), контравариантные (qsk) или смешанные контрако- (^д,)
и коконтравариантные q'sk компоненты. Но тензор Q - не матрица его
компонент, величины которых зависят от назначения базисов, а
инвариантная, физическая величина. Инвариантный и не связанный с базисом
смысл имеет запись (5).
Введенные в § 3 и здесь определения вектора и тензора второго ранга
должно дополнить рассмотрением, при каких условиях тройка наперед
заданных чисел (as или as) или девять чисел (qsk или qsk, или q*k, q'k)
действительно определяют независящий от назначения базиса объект (вектор,
тензор). Иначе говоря, требуется установить правила преобразования этих
чисел при переходе от базиса, в котором они предположены заданными, к
новому базису. Об этом см. § 7.
Аналогично (5) определяется умножение Q на а слева; им задается отличный
от b вектор
с = а ¦ Q = а • qstrsr* = qstrias = (Г V-а. (6)
Переставив местами в (4) базисные векторы, приходим к транспонированному
тензору, обозначаемому QT
QT= <7sf"V = qstrtrs = q*krkrs = qfrkrs. (7)
§43
ТЕНЗОР ВТОРОГО РАНГА
427
Его As-компонента равна sA-компоненте Q. По (5)
b = Q-a = a-QT (8)
и этим правилом дается независимое от выбора базиса определение QT.
Формулы связи между компонентами тензора различных наименований следуют
из (4) и (1.6). Например,
Q = qSkrsrk = qskgsm*mgknr"=qskgsmgknrmrn = qmnrm "v
Получаем соотношения вида
qmn = qSkgsmgkn=q'sngsrn> qmn= clskgsmg:" = qs.ngsm (9)
и т. Д. -снова те же правила "игры" индексов.
Компоненты тензора представимы также формулами вида
r5-Q-r t = qSb rs-Q-rf ^=qst,
H-Q-r * = <&, r,.Q.r k = q-k. (10)
Диада векторов. Это - простейший пример тензора второго ранга,
образуемого по двум векторам; их диада обозначается ab (часто а(у)Ь). Ее
произведение на вектор с справа (слева) определяет вектор ab-c (вектор c-
ab). Представления диады через базисные диады и правило транспонирования
даются формулами
a.b = asbkrsrk = asbkrsrk - asbkrsrk = aSb/;rsrk, (ab)T=ba. (11)
Формулы (4) представляют тензор суммой девяти базисных диад, умножаемых
на соответствующую компоненту.
Единичный тензор Е. Это-тензор, произведение которого на вектор а справа
или слева равно этому вектору а
Е-а = а-Е = а. (12)
Из этого определения и формул (8) и (10) следует, что
Е = ЕТ, fS-E .Tt=gsk, iyE-Tk^-gsk, rs-E-Tk = gk~~b%. (13)
Диадные представления единичного тензора по (4) записываются в видах
Е = gskrsrk =gskrsrk=gsk vsrk = 6skrsrk = rsrs = r*r*, (14)
так что gsk, gsfr, b% - компоненты единичного тензора. Формула (2.5) для
квадрата длины отрезка позволяет назвать единичный тензор метрическим.
Симметричным называют тензор, равный своему транспонированному
Q = QT. qsk = qks> qsk = qks, q*k = q-* = q\ (15)
(нет нужды указывать, с какого места поднят индекс). Для симметричного
тензора
Q = QT: Q-a = aQ. (16)
Простейшие примеры: диада аа, единичный тензор Е.
Кососимметричный тензор определяется условием
QT = - Q, qks = -Qsk, qks^-qsk, qsk==-qf, (17)
его диагональные компоненты равны нулю. Матрица компонент симметричного
тензора задается шестью, кососимметричного-тремя компонентами. Тензор Q
428
ПРИЛОЖЕНИЕ I. ТЕНЗОРНАЯ АЛГЕБРА
может быть представлен разбиением на симметричную и кососимметричную
части
Q = y (Q+QT)+y(Q-QT)-S+?i, S = ST = 1(Q + QT),
?2=у (Q -QT) = - ?iT. (18)
Для экономии места здесь не были упомянуты очевидные предложения, что
умножение тензора на число (скаляр) представляет тензор с компонентами,
равными произведению на это число компонент тензора, что сумма тензоров
