Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Рабинович М.И. -> "Введение в теорию колебаний и волн." -> 311

Введение в теорию колебаний и волн. - Рабинович М.И.

Рабинович М.И. Введение в теорию колебаний и волн. — НИЦ, 2000. — 564 c.
Скачать (прямая ссылка): vvedenievteoriuvoln2000.djvu
Предыдущая << 1 .. 305 306 307 308 309 310 < 311 > 312 313 314 315 316 317 .. 942 >> Следующая

Эти же трудности сохраняются и в статических задачах термоупругости, хотя
математическая задача упрощается. Механическая и тепловая задача остаются
неразделенными. Динамическая задача в изотермическом материале (в
изотермическом процессе) упрощается, так как из рассмотрения выпадает
уравнение теплопроводности, а температура входит в выражение свободной
энергии и далее в уравнения движения, как постоянный параметр. В
адиабатическом процессе этого упро-
14*
420
УРАВНЕНИЯ ТЕРМОУПРУГОСТИ
[ГЛ. 9
щения нет, уравнения движения должны рассматриваться совместно с
уравнением (7.4), выражающим постоянство энтропии вдоль траектории
частицы.
В изотермическом процессе, сославшись на (4.10) и (2.7.5), имеем
Р- • SVRT = р0/ (vR; 0х)о • -6VRT= Ро8/ (vR; 0Х) = 6'aie) (1)
VR
- удельная элементарная работа равна вариации свободной энергии.
Обозначением
5 (VR; 0Х) = р0 [f (VR; 0Х) _/ (Е; 0Х)] (2)
определяется равная нулю в отсчетной конфигурации (что впрочем
несущественно) величина, называемая удельной запасенной свободной
энергией этого процесса. Повторяя вышеприведенные записи, имеем
Р = э (VR; 0Х)О = 2э (G; 0x)G-VR,
Vr
Т=2 |/|-VRT.a(G; 0x)g-VR (3)
или в изотропном упругом теле
Т=2|/-f- F-^(/1 (F), /2 (F), /3 (F); 0x)f. (4)
Сказанное может быть повторено и для адиабатического процесса, если
вместо (2) ввести в рассмотрение удельную запасенную внутреннюю энергию
a(VR; Т1Х) = р0 [е (VR; г)х) - е (Е; т]х)]. (5)
Конечно, в формулах (3) и (4) теперь придется заменить
о о
3(VR; 0х) на э (VR; цх). Можно их записать и в виде
Р = э0 , Т = 2 )/-J-VRt.3g.VR = 2 ]/-j-F-3F (6)
Vr
не забывая, что одно и то же обозначение э сохранено для двух отличных
друг от друга величин. Например, в линейной теории упругости отличают
адиабатические модули упругости (получаемые из представления э по (5)
через внутреннюю энергию) от изотермических (определяемых по свободной
энергии). Аналогичное более сложное рассмотрение распространимо и в
нелинейной теории.
§8]
УРАВНЕНИЯ ТЕРМОУПРУГОСТИ
421
Очевидно, что напряженные состояния (если исключить динамические задачи в
адиабатическом процессе), определяемые по заданию запасенной свободной
или внутренней энергий, не могут отличаться друг от друга-они
разыскиваются из тождественных уравнений равновесия и краевых условий; в
формулировках тех и других нет упоминания о тепловых величинах (0Х или
и*).
Итак, применение принципов термодинамики позволило доказать существование
"потенциалов напряжений" ("запасенных энергий") в изотермическом и
адиабатическом процессах.
Теория упругости может строиться, однако, и без введения подобных
величин, т. е. как чисто механическая дисциплина, вообще не входящая в
рассмотрение тепловых процессов. Эта точка зрения и проводилась в
предшествующем изложении, как разъяснялось в начале гл. 4 (§ 1).
Приложения
ТЕНЗОРНАЯ АЛГЕБРА И ТЕНЗОРНЫЙ АНАЛИЗ
Содержание "Приложений" ограничено необходимыми для изложения механики
сплошной среды сведениями о правилах и приемах применения тензорного
исчисления в трехмерном евклидовом пространстве (в <§%). Обозначения,
отличающиеся некоторым своеобразием, согласованы с основным текстом.
Преимущественно используются "прямые", а не индексные обозначения
тензорных величин; этим формулам и теоремам механики придается краткость
и выразительность, утрачиваемые в индексных записях. Переход к последним
требует лишь навыков в элементарных алгебраических преобразованиях. Опыт
преподавания позволяет констатировать отсутствие здесь каких-либо
затруднений.
Предполагается, что читатель владеет первоначальными сведениями об
операциях векторной алгебры и анализа и о действиях над матрицами.
Подчеркнем еще, что "Приложения" ни в какой мере не претендуют заменить
систематические курсы тензорного анализа, скорее они имеют целью избавить
читателя от постоянных ссылок на них.
Приложения нумеруются римскими цифрами, главы основного текста-
арабскими. Эти разделы разбиваются на параграфы (§), последние часто на
пункты (1, 2 и т. д.). В параграфах принята порядковая нумерация формул.
При ссылке на формулу данного параграфа указывается номер формулы, а на
формулу из другого параграфа той же главы - его номер и номер формулы.
Номера главы, параграфа и формулы указываются в ссылках на формулы в
предшествующих главах.
Приложение I. ТЕНЗОРНАЯ АЛГЕБРА
§ 1. Векторные базисы
Векторный базис образуется тремя не расположенными в одной плоскости
(некомпланарными) векторами гь г2, г3. Ортонормированный триэдр, когда он
понадобится по ходу изложения, образуется векторами ix, i2, i3 (i^• i* =
0 при s 7- k, ij-i^ = 1).
Объем v параллелепипеда, построенного на базисных векторах, представ
ляется выражением *)
t1 = Г] • (г2 Хг3) = г2-(г3ХГ]) = r3-(rxX r2). (1)
Взаимный векторный базис определяется тройкой векторов
г1 = - r2 X г3, г2 = - г3Хгь г3 = -ггХг2, (2)
v v v
*) Скалярное и векторное произведения векторов а, b обозначаются а-Ь,
aXb.
§1]
ВЕКТОРНЫЕ БАЗИСЫ
Предыдущая << 1 .. 305 306 307 308 309 310 < 311 > 312 313 314 315 316 317 .. 942 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed