Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Рабинович М.И. -> "Введение в теорию колебаний и волн." -> 307

Введение в теорию колебаний и волн. - Рабинович М.И.

Рабинович М.И. Введение в теорию колебаний и волн. — НИЦ, 2000. — 564 c.
Скачать (прямая ссылка): vvedenievteoriuvoln2000.djvu
Предыдущая << 1 .. 301 302 303 304 305 306 < 307 > 308 309 310 311 312 313 .. 942 >> Следующая

нагревания Q входит тепло, поступающее в объем V через его поверхность
(теплопроводность), и тепло, распределенное по объему (создаваемое,
например, за счет лучеиспускания внешних источников),
d = \\qdO+\l\prdV. (5)
О V
Через q выражается вектор теплового потока h; к этому понятию приводит
такое же, хотя и более простое, рассуждение, чем использованное при
введении тензора напряжений: заданию ориентированной площадки N dO в
любой точке объема V сопоставляется проходящее через площадку в единицу
времени тепло qdO. Скаляру qdO сопоставлен вектор N dO, а линейность этой
зависимости подтверждается знакомым рассмотрением потоков тепла через
грани элементарного тетраэдра. Приходим к соотношению
q = - Nh. (6)
Теплу, покидающему объем, приписывается отрицательное значение; N, как
всегда, нормаль вовне объема. Подобно основному соотношению Коши (2.2.3),
соотношение (6) отнесено к любой ориентированной площадке в объеме V, в
нем определено поле вектора h теплового потока - скаляр q, линейно
зависящий от |N, представйм скалярным произведением N на некоторый другой
вектор - напомним (II.1.2). Точно так же по силе tN, линейно зависящей
от N, вводилось поле тензора напряжений Т.
В соотношении (6), если относить его к ограничивающей объем
поверхности О, следует видеть краевое условие для h; подобно этому
(2.3.1) -краевое условие (уравнение равновесия на поверхности) для Т.
Преобразование Гаусса -Остроградского позволяет теперь представить (5) и
(4) в виде
"=SSS(pr-v,h)^* (?)
у
*-$SS<T"D-V. h + pr)dV.
(8)
408 УРАВНЕНИЯ ТЕРМОУПРУГОСТИ [ГЛ. я
Принимается, что внутренняя энергия - аддитивная функции массы, иначе
говоря,
*=Шр<?л'=Шр0<?л', <?=SSSpo^&== 555 p^f (д)
V v v V
- через е обозначена внутренняя энергия, отнесенная к единице массы-
удельная внутренняя энергия. Теперь (8) приводится к виду
555 (ре - ТD-fV h - pr)dV = 0. (10)
г
Это-первый принцип термодинамики, представленный в интегральной форме.
Его дифференциальная форма выражает условие обращения в нуль
подынтегрального выражения, так как объем V может быть назначен
произвольно:
ре-Т- -D + V-h - pr = 0. (11)
Записав выражение поступающего в единицу времени в объем тепла через его
поверхность в виде [см. (1.6.5)]
jjqdO=-|Jn-1ic10=- jj j/^y-n-VrT-hdo =
= - J fn-hdo = - f j fv-hdw (12)
О V
0
мы вводим в рассмотрение вектор h
h= j/yVr.h, (13)
выражаемый через h точно так же, как тензор Пиола выражен
о
через тензор напряжений Коши [см. (2.7.2)]. Можно назвать h - вектором
Пиола теплового потока. Обратившись теперь к выражениям первого принципа
термодинамики в интегральной и дифференциальной формах и сославшись на
представление (2.7.14) мощности через тензор Пиола, приходим к записям
этого принципа в отсчетной конфигурации
Ш (Р"е -р- • VvT-f V• h - p0r)cfo = 0, (14)
V
0 0 0
р0е -Р--VvT -V-h -р0г = 0. (15)
§ 2. Второй принцип термодинамики
Для механики сплошной среды температура -первичное понятие. Можно
довольствоваться его словесным определением "степень нагретости",
например, и указанием способов измерения.
§3l * СВОБОДНАЯ ЭНЕРГИЯ 409
Важно отметить, что определено наименьшее значение температуры, которой в
шкале Кельвина приписывается значение 0 = 0, так что всегда 0 > 0.
Второй принцип термодинамики связан с понятием энтропии. Материальная
производная по времени энтропии, поступающей в объем V от внешних
источников тепла, определяется (подобно (1.5)) выражением
V О V о
Внутренняя энтропия в объеме V, обозначаемая Н, представляет аддитивную
функцию массы и выражается через удельную энтропию т] (относимую к
единице массы) формулой
(2)
v v
Из большого числа формулировок (неравнозначных друг другу) второго
принципа термодинамики, следуя Трусделлу, мы остановимся на неравенстве
Клаузиуса -Дюгема
V о
выражающем, что внутренняя энтропия в объеме не убывает. Процесс со
знаком равенства называется обратимым, неравенства - необратимым.
В другой записи после преобразования поверхностного интеграла в объемный
О V V
неравенству Клаузиуса-Дюгема придается вид
OTi(p0n-F + V-h-h-Vln0)^^°, (4)
v
а в дифференциальной форме
р0г| - (pr - V • h)-h-Vln0^O. (5)
§ 3. Свободная энергия. Диссипативное неравенство
Из неравенства (2.5), дающего представление второго принципа
термодинамики в дифференциальной форме, исключим с по-
мощью этой же формы первого принципа слагаемое
pr - V-h,
410
УРАВНЕНИЯ ТЕРМОУПРУГОСТИ
[ГЛ. 9
определяемое подаваемым в объем V извне теплом. Приходим к неравенству
р0г]-рё + Т--D-h-Vlne^O, (1)
преобразуемому после замены
р0П = р (0г|)' - p0ri
к виду
Т- • D - р (е - 0ri)- - рбг] - h-Vln0^O. (2)
Сюда в рассмотрение оказалась включенной величина
/ = е -0т], (3)
называемая удельной свободной энергией или термодинамическим потенциалом
Гельмгольца. Второй принцип термодинамики оказался представленным теперь
в форме "диссипативного неравенства"
Т--D -p(f + 0ri)-h-Vlne>O. (4)
Входящие в него слагаемые
Ф = Т. -D - р (f + (5)
определяют "удельную диссипативную функцию", называемую еще "удельной
Предыдущая << 1 .. 301 302 303 304 305 306 < 307 > 308 309 310 311 312 313 .. 942 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed