Введение в теорию колебаний и волн. - Рабинович М.И.
Скачать (прямая ссылка):
385
По (1.9.1), (1.9.12) имеем здесь
а о =p(vR-/3-"VfrJ,
VR
эо о =p/3""(/3aCIt + 2aVrTVrT + rmRV(Rm),
VRVR
И по определению (1) выпуклости требуется рассмотреть нера-.венство
о
• VRT
dxf
(а (VR + r|VRQ
= Р/;
ri=О
VRT-Q1
7 о о VRVR
•Q1
[/"Qг• VRT¦ • VR Q + 2aQT- EE- QT +
+ QT-RmRfQT R(Rm] =
= p/3-" [IVi (F -Q • QT) + 2aIf (Q) + /j (Q2)] > 0.
Задача сведена к определению знака квадратичной формы девяти переменных
8 (Q) = /,"/1 (F • Q • QT) + 2a/2 (Q) + /х (Q2),
представимой в собственном базисе меры Фингера суммой квадратичных форм
8 (Q)= <8\ (*/п> Цгч.1 йзз) 82(^23' Узз) 8з (уsi, q13) + <?4 (^i2> q^i)-
При обозначениях ^ = (и?+1и"и")2, к2 = (vfvfnvf)2, A3 = (i?t>"t>"+1)2
матрицы коэффициентов этих форм записываются в виде
и т. д. Матрица формы <§ (Q) оказывается диагональной матрицей матриц
' ' 8и II о о о
0 II82 2II 0 о
0 0 || (§зз || 0
0 0 0 II <^44 [
Если ограничиться значением а = А/2р^0, что составляет 0^v^0,5, то будет
положительной ("сильвестровой") матрицей, матрицы || 82 Ц, |[<?31|,
!|<?4|| положительны при условиях
КК > 0, к3Х1 > 0, ХгХ2 > 0, приводимых к неравенству
(19)
М + 2а-И 2а 2а 1 I |
2а А2 -{- 2а-f-1 2а > 1 8 2 || ^2 * 1 1
2а 2а А3-{- 2а-р 1 1 A31
/3 > V.
-(СС+1)
= min (vu v2, v3),
тогда как условие сильной эллиптичности не налагает никаких ограничений
на собственные числа меры Фингера F.
А. и. Лурье
386
МАЛАЯ ДЕФОРМАЦИЯ НАГРУЖЕННОГО ТЕЛА
1ГЛ. s
§ 23. Условие Адамара и устойчивость
Ограничиваемся, как и ранее, рассмотрением аффинных преобразований
натуральной отсчетной и-конфигурации в актуальную равновесную ^-
конфигурацию. Эта конфигурация, напомним, устойчива, если
потенциальная энергия в ней имеет мини-
мум-ее вторая вариация положительна для всех w#0 при w = 0 на части
границы 02, на которой задаются перемещения. По (2.5) и (10.5) этому
условию придается вид о о
VwT--s0 о ••VwTcfo>0 (1)
v VRVR
для всех w, удовлетворяющих перечисленным требованиям.
Доказывается, что следствием устойчивости является выполнение неравенства
Адамара (22.12)
Ьа--э0 0 -Ьа>0 (2)
VRVR
для всех векторов а, Ь. Иначе говоря, если это условие не выполняется, то
^-конфигурация неустойчива. Приступая к исследованию устойчивости
некоторой равновесной конфигурации, следует убедиться, что в
рассматриваемой области удлинений и,, v2, v3 выполнено условие Адамара.
Введя в рассмотрение скаляр ср (д1, д3, д3), примем
о /°\ (0 V 0
w==cpb, Vw^VcpJb, VVwJ -bV<p, (3)
причем наложенные на выбор w ограничения будут выполнены, если ф^О и ф =
0 на всей границе О - это обеспечивает условие на 02; на остающейся части
границы Ох вектор w-любой, в частности, также может быть принят равным
нулю. Неравенству (1) придается вид
г г г 00
J)) V^p-S-Vqdv > 0, S = A'frtsbrbsrclrt = s9tr"rt. (4)
V
В другой записи выражений (4) и (2) имеем
s'v>>0 |5)
v
и необходимо убедиться, что выполнение первого (интегрального)
неравенства требует неотрицательности матрицы ||s^||. Это "неочевидно",
так как положительность интеграла не обеспечивает того, что таковой будет
и подынтегральная функция. Требуется так выбрать удовлетворяющую
наложенным на нее уело-
[рз
УСЛОВИЕ АДАМАРА И УСТОЙЧИВОСТЬ
387
виЯМ функцию ср (q1, q~, q3), чтобы подтвердить это предположение.
Постоянный (не зависящий от координат у1, у2, q3) тензор S = ST может
быть приведен к главным осям
(6)
Здесь Хк-главные значения тензора, \к -его главные направления, одни и те
же во всех точках тела. Их можно принять
за оси декартовой системы х1, х2, х3
Тф • s • v* = *< 0 $ ¦ У, • \
4 4 k=\ k=l
Неравенства (5) приобретают вид
>{ВУ- <7>
3 3
? ИК^)2dxldx2dx3 > °, (fl*-=!*•") (8)
к= 1
k = l
и остается убедиться, что первое требует неотрицательности Kk.
Примем точку х\, xl, xl за вершину параллелепипеда Кн с ребрами hi, h2,
h3, целиком расположенного внутри тела. Координаты точек в нем
удовлетворяют неравенствам
x3<xk^xk0 + hk\ (9)
положим
О вне Kh,
<р (хх, х2, х3) = ¦
f
х1 -xl
J , - Xp \ j ( х3 ~ -*0
внутри Kh.
(10)
Здесь функция f (t) определена при O^^^l и вместе со своими производными
до достаточно высокого порядка обращается в нуль при t - 0 и t - 1.
Теперь интегралы (8) преобразуются к виду
\т
dx1 dx2dx3 ¦
лш
-f
Г
,( х'-Хо
dx1
г-
як
x2-xl
V h"
dx2
-х0
dx3.
При обозначениях
[r\t)dt = a, lf2(t)dt = $ (о>0, р>0)
13"
388
МАЛАЯ ДЕФОРМАЦИЯ НАГРУЖЕННОГО ТЕЛА
1гЛ. S
получим теперь
К
После подстановки в (8) приходим к неравенству
2я* j Я (Ю'dx'dx'dx'=ч**а*. (д+if+д) > "•
*-1 и
откуда и следует, что
(6= 1,2,3),
причем одновременное выполнение трех равенств исключается. Этим завершено
доказательство теоремы:
устойчивость равновесия => условие Адамара.
§ 24. Сильная эллиптичность и устойчивость
Обратное предложение:
сильная эллиптичность => устойчивость аффинной
равновесной конфигурации
может быть доказано для первой краевой задачи - перемещение задано на
всей поверхности тела - налагаемое поле возможных перемещений подчинено
требованию
