Введение в теорию колебаний и волн. - Рабинович М.И.
Скачать (прямая ссылка):
-4N
¦J- - N*/,
= i,6
Рис. 1.13. Сравнение аналитической (слева) и найденной численно (справа)
структуры поверхности сечения модели Хенона-Хейлеса (по данным работы
[171]).
68
Глава 1
ров островков устойчивости приведены в § 2.4 вместе с подробными
примерами.
Хотя существует несомненное соответствие между расчетами устойчивых
областей по теории возмущений и результатами численного моделирования,
это еще не означает, что устойчивость сохраняется в любой момент времени,
как это предсказывает теория возмущений, поскольку слабые резонансы
высокого порядка могут разрушить эту устойчивость. Однако на помощь
приходит теория КАЛ1, которая гарантирует, что, во всяком случае, для
достаточно малого возмущения инвариантные кривые существуют и близки к
невозмущенным. Это дает основание предположить, что те кривые, которые
выглядят гладкими и устойчивыми, наверное, близки к хорошим инвариантным
кривым, хотя, возможно, и имеют какую-то невидимую структуру. Опираясь на
это предположение, мы развиваем эвристический критерий разрушения
интегралов движения, связанный с критерием перекрытия соседних
резонансов, который был предложен Чириковым [67]. Сравнивая эти критерии
с численными экспериментами, можно получить достаточно надежные
количественные оценки разрушения интегралов движения. Эти вычисления -
основная тема гл. 4.
Ускорение Ферми. Как уже было отмечено в § 1.2, существует тесная связь
между гамильтоновыми системами с двумя степенями свободы и сохраняющими
площадь отображениями двумерной поверхности на себя. Преобразование,
задающее последовательные пересечения траектории с некоторой
поверхностью, является именно таким отображением. И обратно, динамическую
систему, заданную отображением, можно описать и гамильтонианом, который
получается разложением отображения в ряд Фурье х).
Рассмотрим пример динамической системы, которую можно описать сохраняющим
площадь отображением; он иллюстрирует характер стохастических траекторий
в системах с двумя степенями свободы. Отображение описывает движение
шарика между неподвижной и колеблющейся стенками. Этот пример Улама [415]
моделирует механизм ускорения космических лучей, предложенный Ферми
[126].Обозначим через ип скорость шарика (в единицах удвоенной амплитуды
скорости стенки), перед его п-м столкновением с колеблющейся стенкой, а
через - фазу колебаний стенки в момент столкновения. Тогда отображение
имеет вид
(1.4.8а) (1.4.86)
цп - j цп - si П ,
i. ¦ 2гтМ
Фя+1 Ч'п ! >
ЦП4-1
Т Имеется ввиду фурье-разложение по времени, см. п. 3.1в.- Прим.
ред.
Общий обзор и основные представления
69
где М - некоторое приведенное расстояние между стенками, а скорость
шарика ип берется по абсолютной величине.
Динамика такого отображения может быть прослежена на многие тысячи
итераций, что позволяет получить детальное представ-
ЛокализоВанная
сгпохасгпичносгпь
Рис. 1.14. Поверхность сечения для задачи Ферми (по данным работы [274]).
Показано заполнение фазовой плоскости одной траекторией за 623 ООО
итераций. Пунктирные кривые рассчитаны по резонансно!! теории возмущений.
ление о поведении системы и, в частности, исследовать ее статисти-ческие
свойства. На рис. 1.14 изображена плоскость (и, у) после 623 000 итераций
для М = 100 и начальной скорости ц0 яз 1. Плоскость разделена на 200 у
100 ячеек 1), причем в неотмеченные ячейки траектория не попадала. Видно,
что на фазовой плоскости имеются три области: 1) область больших значений
и, в которой преобладают инвариантные кривые, а узкие и ограниченные
стохастические слои расположены только вблизи резонансных се-
1) Для и Д 25, см. п. 3.46.- Прим. ред.
70
Глава 1
паратрис; 2) единая стохастическая область при промежуточных значениях и,
в которой еще остаются островки устойчивости вокруг периодических
траекторий, и 3) область стохастичности для малых и, в которой все
первичные периодические траектории, по-видимому, неустойчивы. В областях
2 и 3 имеет место сильная, или глобальная, стохастичность движения. В
последней из них, несмотря на существование некоторых корреляций между
последовательными значениями фазы ф, можно использовать приближение
хаотических фаз и диффузионное уравнение для скорости и. Более подробно
этот вопрос будет рассмотрен в гл. 5.
Эргодические системы. Подобно полностью интегрируемым системам,
эргодические системы, в которых отсутствуют регулярные траектории,
оказываются в некоторых отношениях более простыми,
Рис. 1.15. Два примера систем, обладающих эргодичностью и перемешиванием
(по данным работы [14]).
а - разверчка тора, по которому движутся твердые диски, г/. = Р; б -
преобразование пекаря; перемешивание происходит в результате
раскатывания, разрезания и складывания.
чем системы, близкие к интегрируемым. Хотя в эргодических системах и
нельзя пользоваться понятием отдельных траекторий, но зато можно
установить ряд общих статистических свойств. Примером такой системы может
служить движение бильярдного шара, сталкивающегося с неподвижным диском
