Введение в теорию колебаний и волн. - Рабинович М.И.
Скачать (прямая ссылка):
p'V-w, конечно, не влияет на знак.
При составлении уравнений нейтрального равновесия это слагаемое следует
сохранить. Имеем
555 {-p'V• w + ((c)?• /?VwT)- • VwT}dV = 5 5 5 ^'Я w + w-Vp' +
У "у
+ V • [(0? + pVwT) • w] - [ V • (0Я + pwr)] -w\dV =
§19] БЕЗОПАСНОЕ НАГРУЖЕНИЕ НЕСЖИМАЕМОГО ТЕЛА 377
= - S SS tV'¦ (0*+ PVwT)Vp'l¦ wdv +
V
+ SS N-[(0?-f-pVwT) - Ep'\- wdO.
0,
Вхождение лагранжева множителя p' позволяет записать уравнения равновесия
в объеме и на поверхности
в V: V0? + V • pVwT - \р' = 0, (13)
на Ор. N ¦ (&Е + p\wT) - Np' = 0, (14)
к которым присоединяется уравнение связи
V-w = 0. (15)
В этих уравнениях р считается найденным по уравнениям равновесия в ^-
конфигурации, дополненным уравнением связи
/3-1=0.
§ 19. Безопасное нагружение несжимаемого упругого тела
Как и ранее в § 13, "мертвое" нагружение предполагается заданным на всей
поверхности тела, а поле виртуальных перемещений удовлетворяющим условию
(1.21) и, конечно, условию несжимаемости (18.15). Входящий в критерий
(18.12) тензор преобразуется по (18.7) к виду
0?.-f-/7VwT = T?-Vw + pVwT-j-4\p.2F-s- F ~f
+ 4П SjvrMFr.eJF* (1)
N=1Г=1
После замены его значением Т+рЕ, имеем
Т? • Vw + pVwT = (Т + рЕ) • Vw + рVwT = Т • Vw + 2рг (2)
и далее
(Т Е ¦ Vw + pVwT) • • VwT = Т • • Vw • VwT + 2 plt (e2),
так как e-• VwT = e--e. Имеем также, сославшись на (15.5), (15.6),
F 8 - F • • VwT F 8 - F • -E = Ix ((F -s)2),
ФЛ(( F-8)2)^~\xp2\V41(82), (3)
? ? Wx(Fr-e)F..Vw*= t S W1(Fr-8)/1(F".e) =
.V = 1 Г- 1 ,V=ir=l
3 3
= 2 2 asM> (4)
s = 1A"1
378 МАЛАЯ ДЕФОРМАЦИЯ НАГРУЖЕННОГО ТЕЛА
причем подобно (2.14)
ask= 'S 'S ^NTv!NvlI' = b11v2svt + b1;svyk(vl + vl) +
N=1 Г= 1
+ $22vyk = v\vl + ^ + ;[(71 -us) + (71 -vi)] +
[ГЛ. 8
ИЛИ
ask
dv2dv?
S k
+ Щ0г при 5фк\
4 j дэ д2э
(s, k = 1, 2, 3).
(5)
(6)
Va/* (*-s2)'
Критерий Битти подобно (15.9) представляется выражениями
B=H+2p-4v$
дэ ! D гг . о Гл • 01/4^ 153 ljd? |М п¦
¦^7-|, В-Я+2 j р, aj,-t-2K Т/. I I I> (7)
д12
причем здесь подобно (2.21)
дэ
Ps Gs + P - 2vtjr = 2
дэ
Ж
дэ
Ж
+ /х Ж )v2, - 2и*
дэ д! 2
(8)
Сохраняются записи условий безопасного нагружения в форме неравенства
(15.11) или в более полном виде (15.10).
§ 20. Устойчивость неискаженного состояния несжимаемого материала
В неискаженной ^-конфигурации материал подвергнут всестороннему
растяжению или сжатию. В этом состоянии тензоры Т и F - шаровые
Т =стЕ, F = п2Е = Е,
так как для несжимаемого материала /3 = о6 -1. Уравнение состояния
задается соотношением
дэ
дй'
а- р+оЕ, о1,:~2(-^-+11-щ-|^)-2 (у^+2 -щ^-р+2-Здесь по (19.8)
так что
Р + (2)
S201
УСТОЙЧИВОСТЬ НЕИСКАЖЕННОГО СОСТОЯНИЯ
379
В выражении (18.1) отпадает рассмотрение двойной суммы, так как теперь по
(18.5)
I1(FN-e)^I1 (е) = V - w == 0.
Получаем
дэ
дэ
0? + pVwT = ( р + 2 -gj- j (Vw + Vwr) - crVwT - 4-jj- e~ 2pe - oVwT,
так что
'0? + pVwT) • ¦ VwT = 2p/t (e2) - ctVwt- • Vwt.
Для преобразования второго слагаемого используется тождество
VwT- • VwT = (е + Q)- • (8 + й) = ]х (е2) + 1г (Q2) =
= /1(82)- 2со-со (/1(Й-8) = 0)
и условию устойчивости (18.12) придается вид
(2р - а) ^ ^ /1(e2)dV + 2а J § <о-сос(К > 0,
так что устойчивость при растяжении (ст > 0) имеет место при условии
2р > ст. (3)
Оценка Холдена (15.4) неприменима при а > 0, так как не удовлетворяется
условие (15.3).
При сжатии ст < 0 и по (19.7), (1) и (2)
В = Я + 2р -4
д/2
= (/С + 1) ст-2ст + 2р- 4
дэ
дэ
dl.
дэ д/2
: (К- 1) ст + 2jx- 4 ^
дэ
д/2
и достаточное условие безопасного нагружения выражается неравенством
В>0: 2р > - (К -1)0 + 4 ^
дэ
д/2
дэ
д/2
= (Я-1)|ст|+,
0
1 дэ
\Ж
дэ . п при -щ > О,
дэ Л
при jj-< 0.
(4)
В частности, для двухконстантного материала Муни по (7.4.1) и (7.4.4)
2р > (К- I) 1 сг I- (5)
380
МАЛАЯ ДЕФОРМАЦИЯ НАГРУЖЕННОГО ТЕЛА
[ГЛ. 8
§ 21. Несжимаемый материал. Сжатый стержень
Сжимающее (продольное) напряжение обозначается 03 < 0; Oj = о2 = 0 и 0 =
0 по (13.11). Собственные значения тензора Фингера обозначаются, как и
ранее, v\ = v\ =i>-1, t'3 = ii2 и в соответствии с ^^-неравенством
(5.13.10)
По (7.2.4), (7.2.5) напряжения определяются формулами
Для двухконстантного материала Муни критерий безопасного нагружения
приводится к виду
причем S0-площадь поперечного сечения в натуральной конфигурации (S~
S0vf- S0u-1).
Пришли при и"1 к той же "инженерной" формуле вида (16.7).
§ 22. Выпуклость по градиенту. Условие Адамара
VR в некоторой области ее изменения, если для любого тензора Q выполнено
неравенство
(1)
и постоянной Битти (19.7) придается вид
-4п-2|с^|=2^-[(Д+1)и2-(Д-1)п-Ч +
(3)
и по (1) и (7.4.9)
(4)
Дифференцируемая функция
"выпукла по градиенту"
о
§221 ВЫПУКЛОСТЬ ПО ГРАДИЕНТУ. УСЛОВИЕ АДЛМАРА 381
Аргумент
VRx = vR.(E + tiQ)
в этом неравенстве можно заменить, согласно принципу материальной
индифферентности (гл. 3, § 2), аргументом
VRxO = VR (E + nQ) 0,
где О-ортогональный тензор. Для изотропного материала до-
0 о
пустима также замена VRX на OVRx.
В частности, ортогональный гензор О можно принять равным ехр(-r]Q), где
