Введение в теорию колебаний и волн. - Рабинович М.И.
Скачать (прямая ссылка):
тензором Пиола
Р= т/ 9. VrI-T = ii12t)3V-1-i3i3cr3 --vla3i3i3, 0, р3=и\а3
г g
и по (11.4) компоненты у1 = у2, v3 тензора V определяются из
уравнений
2 (Я + р.) vi -)- ki\ - ЗЯ-f 2р, 2kvt (к + 2р) ц, - ЗЯ-f 2р р3-
Из них находим
w1 = t;2= 1 - = 1 - v63, уя = 1+^- -1+8S (v = 2(5rHO.
? = 2p(l +v)j ,
причем
б3 - Jr, Q-cr3S-cr3y!S0 = /j3S0. (1)
*) Вывод этих соотношений приведен в гл. IX, § 7.10 "Теории
упругости"
автора ("Наука", 1970). Там же в § 7.13 эти решения применены
к задаче
°б осесимметричном нейтральном равновесии полой сферы, сжатой равномерно
распределенным по ее поверхности наружным давлением. См. также [8.6].
12*
356
МЛЛЛЯ ДЕФОРМАЦИЯ НАГРУЖЕННОГО ТЕЛА
Здесь Q - продольная сила, б3 - относительное удлинение в аИ>-
конфигурации, S и S0 - площадь поперечного сечения стержня в этой и
отсчетной конфигурациях.
По (11.6) получаем
а - л - - 2 (Н-т) бз 4-0 (9\
Выражению (11.10) квадратичной формы Ф придается теперь
вид
(e(w)) +Ц/, (а2 ^))+22;^^У^(т1 + ю2) • (3)
Задача об устойчивости сжатого круглого цилиндра была
рассмотрена Сенсенигом (С. В. Sensenig, 1964) на основе точ-
ных уравнений (11.14). Решение, конечно, очень громоздко, бифуркационное
значение параметра определяется трансцендентным уравнением сложной
структуры, представленным через бесселевы функции*).
Для оценки критического нагружения естественно использовать априорное
задание вектора w, соединенное с условием стационарности второй вариации
функционала (10.1)
№2(w) =1 = )/ Ц VRг • P- • Vwr dV -
V V
P- • VwTdi>= (4)
Следует предвидеть, что так определяемый критический параметр нагружения
превышает его точное значение, поскольку априорное задание вектора w
эквивалентно наложению связей, ограничивающих деформативность стержня.
Это заставляет относиться с осторожностью к так находимым параметрам.
Примем, например,
^ = 0, w2 = f(a3), w3 = - a2f' (а3). (5)
Это соответствует заданию бокового смещения (по оси OY) оси стержня и
повороту его остающегося неизменным поперечного сечения вокруг оси X.
Здесь
ООО ООО
бц 0, в22 = 0, е33 = о f (от), б12 = е23 -=
е31 = 0,
0 1 /dw3 dw2\ с, , 0 0 А
Wl ~ ~2 (за1"- За5) ~ f ~ -
*) Это решение воспроизведено в IX, § 7.11 "Теории упругости" автора.
Использованы представления решений (11.16), (11.17).
12j ЗЛДЛЧА УСТОЙЧИВОСТИ СЖАТОГО СТЕРЖНЯ 357
§
и по (11.10), (4), (3)
+ Щ [f" (a3) a2]2 dv + 2 + HI f'2(a^dv =
i
Q 2 2+(1 - V)
О
:§das [2-(Я + 211) lxg'2
(6)
Здесь
f'(a*)^g(a3), Ix=\\{a2)2dcd da2, Q = 2p(l+v)S063.
s"
Условие стационарности функционала (6) приводится к виду J - (X + 2р.)
Ixg" + 2 + JQ у) ^ g Sgda3 + g'(/)6g(/)-
-g'(0)6g(0) = 0
и для консольного стержня (на нижнем конце 6g(0)==0, на верхнем бg(l)
произвольно) однородная краевая задача приведена к дифференциальному
уравнению и краевым условиям
г'+грг,Т77*=0. г(0)"°' *,(')=0' (7)
причем в знаменателе выражения Ах отброшено малое слагаемое (1-v)63 = (l-
v) Q/(ES0). Находимая отсюда критическая сжимающая сила определяется
выражением
. " . - п2_Е1х Х + 2ц q _1-у Л 'N-1 > О
IV| 4/2 ? Чэ (!_2v) (1 + v) " V I -v У
Q3 = T (8)
и превышает эйлерово значение для всех v с (- 1, 1/2), исключая v = 0.
Эту же формулу приводит Пирсон [8.11].
Следуя Пирсону, зададим поле вектора w соотношениями
w, - vtfaY (a3), w2 =yv(al!-/)f4/, wa = - a2f (9)
--это формулы для перемещений в задаче Сен-Венана об изгибе парой тх, в
которых постоянная тх/(Е1х) заменена кривизной оси f"(a3) изогнутого
стержня.
Теперь
eu = - va2f" (а3), е22 = - va2f", е33 = - a*f",
Si. -о, °е23 ==|v(al2-a'32)/"', 6°31 = -ivflV/'",
to1=-i-v(alS -a22)со 2 =-jvala2f", со3 = 0
358
МАЛАЯ ДЕФОРМАЦИЯ НАГРУЖЕННОГО ТЕЛА
[гЛ. к
и выражение (3) квадратичной формы Ф приобретает вид Ф = р (1 + v) a^f"*
+ у,Af2 +1 v2n ( 1 + y Л ) (а1* + *2V ?"Г+
+ -^рль4 (al2-a?)f'f".
(10)
Сохранив здесь лишь первое и второе слагаемые и заменив, как выше, А его
приближенным значением (l-f-v)83, придем к эйлерову значению критической
продольной силы.
Естественно пренебрежение третьим слагаемым в (10) - оно внесло бы в
представление функционала Wг член с множителем
j'J (а1* + a2*)2 da1 da2,
s "
малым для тонкого стержня. Менее приемлемо пренебрежение последним
слагаемым в (10). Сохранив его, получим для функционала W2 выражение,
пропорциональное
i
И
da3
2 Е
I
= -j\daS о
1 v
т~Ч8*
I
_и
8'
V -
2
Е1Х
сI Q g=f.
причем, поскольку задание (9) вектора w предполагает изгибание в
плоскости YZ, следует принять /у//х > 1. Соответствующая краевая задача
для консольного стержня
Чп Л1 'Ql ~ = 0, Я(ОНО, g'(l) = 0
, . 1 | а3|
1-1 V ---
^2 Е
г-1
Е1Х
приводит к критической сжимающей силе, превосходящей эйлерово ее значение
Q
Qs
§ 13. Безопасное нагружение. Оценки Холдена
Задача состоит в определении нагружений, гарантирующих положительность
подынтегральной квадратичной формы гЁ, значит и интеграла (10.1) от нее.
По определению (10.5), при этом
§ 13J
БЕЗОПАСНОЕ НАГРУЖЕНИЕ. ОЦЕНКИ ХОЛДЕНА
359
условии невозможна потеря устойчивости равновесного состояния ^-
