Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Рабинович М.И. -> "Введение в теорию колебаний и волн." -> 289

Введение в теорию колебаний и волн. - Рабинович М.И.

Рабинович М.И. Введение в теорию колебаний и волн. — НИЦ, 2000. — 564 c.
Скачать (прямая ссылка): vvedenievteoriuvoln2000.djvu
Предыдущая << 1 .. 283 284 285 286 287 288 < 289 > 290 291 292 293 294 295 .. 942 >> Следующая

нейтральным, а параметры нагружения критическими (или бифуркационными).
Сказанное здесь связывается с задачей устойчивости равновесия;
разъяснению ее содержания уделено место в §§ 10-25 этой главы.
о
В системах уравнений (2.10), линейных относительно Vw,
Vw, квадратичные формы Ф и ? представляют производящие
о
функции преобразований Vw-> Р, Vw-->B.
о
Обратные преобразования Р->Vw, В - >Vw осуществляются квадратичными
формами от Р и В
Фх (Р) = Р- -VwT(P) -Ф (v (w(P)) , (4)
?Х(В) =В--VwT (B)-?(Vw(B)).
о
В них Vw(P), Vw (В) - решения систем линейных уравнений (2.10). По
свойству преобразования Лежандра они представимы в виде
Vw(P) = (Фх)р , Vw(B)-(^x)0. (5)
s j) ГИДРОСТАТИЧЕСКОЕ НАПРЯЖЕННОЕ СОСТОЯНИЕ 33?
Следствием этих соотношений является принцип стационарности
дополнительной работы -равенство нулю вариации функционала
W%x = $$S'Fx(e)dV-$Sw-fxdO (6)
V 02
для всех напряженных состояний, удовлетворяющих уравнениям
(1.17) в объеме и на части поверхности О., на которой заданы силы.
Для этих состояний
в V: V-60 - 0; на О.z\ N-60-=6fx; на 0,: 6fx = N-60=O. (7)
Действительно, по (4) и (2.10) бЦДх 5§'^wT((r))~f (r) ¦ ' ^VwT-0- ¦ b\wT)dV-5
5 w- 6fxd0=-
I' о2
= 555 [V • (60- w) - (V- 60) • w]dF- J J w- 6fxdO ==
V 02
= - 5S5 (v-6(c))-wdF+55(N-60-6fx).wdO +S5N-60.wdO=O,
У 02 0,
как следует из определений (7) статически возможных состояний.
§ 4. Малая деформация гидростатического напряженного состояния
Напряженное состояние в ^-конфигурации создается равномерно
распределенным по всей поверхности тела давлением р, так что
к = 0, f = -pN. (1)
Уравнениям статики в объеме и на поверхности в этой
конфи-
гурации
V-T = 0, N • Т = -рЫ
удовлетворяет шаровой тензор напряжений
Т = -рЕ. (2)
Мера деформации Фингера F -также шаровой тензор с ин-
вариантами
F = ц2Е, Д (F) = За2, /2(F) = 3M, /, (F) =и" и уравнение состояния
(4.3.13) приводится к виду
- р -= 2v~3 (ф0 + гДц2 + ф21Д = 2ц-1 (-щ 4- 2d2 щ +
3
2ц-1 -гг + У2 ггг + V1 (-Д- 4- дг ) (3)
*L + V*ll + V*(^ + V^
д I j д! 2 <?/з
338
МАЛАЯ ДЕФОРМАЦИЯ НАГРУЖЕННОГО ТЕЛА
[гл. а
или в другой записи
дэ
р(у) - 2d1 ( -+ у2 -
дэ
dh
, о / дэ , " дэ
p + 2v(m-+v'mi
1-
(4)
Здесь р(1)--р- модуль сдвига в отсчетной неискаженной конфигурации. По
<53<?-критерию в форме (5.13.11) р (и) > 0 для сильно эллиптического
материала.
Потенциальная энергия в ^-конфигурации представляется по (4.16.14)
выражением
W (R)
i+p V^)dv
' ё / ,, V v
Ее представлению в ^^-конфигурации по (2.3), (2.7) и (1.12.6) придается
вид
W (R + Tjw) = Г (R) + г]Г, + т)аГ2 = W (R) + rj
+*Ш
Т--\wTdV +
V-wdE
¦ т W Ш w+№v ¦w) Vw ¦ ¦ Vw^dV W5)
1 к к J
При составлении по (2.11) выражения 'Ф используются формулы Ii(F-
s)=v41(e), I! (F3-e) - v4l1 (е), ^(F^e2) -=у4/, (в2),
[-Vi (e2)+Vi (F2-e2)] = -и4 + =
= Ту3[P+E(y)]7i И.
§
00
^ , ..12 ^ Д .. ^ I С.,2 525
} о -y6_^?_..L3u8_i!fL
22 ц/Г ' dh dia ' а/2а/3
¦ 9v4
Ж. - У6
дЬ
dl?/
д2э
дПдГч '
д д2э о 2 д-э
ж- ^
Получаем
?-= - -p'Vw- -VwT + [p (у)+/?]/, (е2) + 2у |
~2 + 4у45 +
+ ^ + 4у2 а*9
... а/1 ¦
. д2э . п 4 д2э дЬдГ^ ЩдТз^
dll >
Ж
dll
Рассматривая удельную потенциальную энергию деформации, как функцию у2
з (Л, /2, /3) = 5 (Зу2> Зу4> ув) "= 5 (у2)>
ГИДРОСТАТИЧЕСКОЕ НАПРЯЖЕННОЕ СОСТОЯНИЕ
339
имеем
da dv2
_да
dl,
да
Щ
d*a
= 9
01? > 4У44-и8 - + 4п2-^ Ь4у6 -~а-. 4-2и4--~
д/!т д/1+ dll+ а/1д/,+ 11' dl2dl3 + lv di3dlx
+
+"(?+-?)
и это позволяет заменить (6) выражением
Tp\w- • VwT-j-[p (у) + р] 1, (е2) +
d2a
9 \ (dv2) yvi2
Учитывая также соотношения
0 I да . "да \
дГ2^~ дГ3)\
/1(8).
(8)
-jpVw- -VwT + ^-p (V-w)2-j pVw- - Vw = jpl! (e)-
- - Vw- • (Vw+Vwr) = y pl\ (e) - pVw ¦ - e= ~ р1\[г) - pi, (ea),
можно придать теперь выражению второй вариации потенциальной энергии вид
4 = v(v)h (в2) + т
V
4 й2э ,4 ( да , " ба
1 -1-4.
О)
Р + 9 У (di'2)2 + 3 U (,(3/2 + и2(3/з
Величина Ф приобретает значение удельной потенциальной энергии в 9°х-
конфигурации (относимой к единице объема ^-конфигурации). Сравнение с
известным выражением удельной потенциальной энергии деформации линейного
упругого тела
^Щ(г)+р1х (Е2)
делает естественным теперь ввести в рассмотрение "приведенный коэффициент
Ляме" Я (и), наряду с выше определенным р (у)
5ф) = н+±у~^ К ' Р+ 9 {dv*)2
дэ
з1' \.дГг'
г дэ
W,;
= Тр -Тр(и)+ о-П
d2a
9 (cfo2)2
Получаем
? = -j X (с) 1\ (е) + р (v) 1Х (е2) .
(10)
(П)
340 МАЛАЯ ДЕФОРМАЦИЯ НАГРУЖЕННОГО ТЕЛА [ГЛ. 8
"Приведенный модуль объемного сжатия" представляется формулой
6(у) = Му) +-|р(у)==уp + • (12)
Введя в рассмотрение переменную т = ф/73 = у3, равную отношению объемов
при гидростатическом сжатии и в натуральной отсчетной конфигурации, имеем
по (3)
da da 2 дэ dlх дэ dl3 . дэ dl3_
dx dv2 3 V ' a/i dr 5/2 dx dl3 dx
Поэтому
й2э 4 v d2a 1 da_ 4 у d2a . 1
dr2-T ~x (dv2)2~ 3xdx~l) ~x (dv2)2 + 3xP'
Выражение k (v) приведено к виду
(13)
Представлению удельной потенциальной энергии линейно упругой среды
\ (X + 2 р.) П (е) - 2р/2 (в) = j kl\ (е) + 2р (11\ (г) - /2 (в) j =
Предыдущая << 1 .. 283 284 285 286 287 288 < 289 > 290 291 292 293 294 295 .. 942 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed