Введение в теорию колебаний и волн. - Рабинович М.И.
Скачать (прямая ссылка):
сс) q1 = х1, q2 = x2, qz = x*-. cos ф |^ + sin ф |^==0,
• , <Эф . Зф .
-зтф^2+со5ф^=0,
откуда следует
0 = 3 = °' ^ = (27")
Р) ql = R, <?г = Ф. <f = Z: "жф-^ +
этфЦ^О,
_31п^+со8ф|| = 0, || = 0, || = 0, * = *<*),
(27Р)
у) qx = R, q2=Q, qs = A : cos ф sin 0 -^-(-sin ф ^cos 9-f- ^ ) =0,
- sin ip sin 0 -~-}-cos ф ^cos (r)+^д^ = 0,
Зф Зф " 32ф 32ф .
~зж = 0, ^^-смб; аТ~ьг> = 0, Т. =sin 0
30 ЗА ЗА 30 30 ЗА
- эта система не имеет решения. Иначе говоря, условия с±Ф сгф с3
исключают возможность существования универсальных решений для семейства
концентрических сфер. Далее поэтому рассматриваются случаи сс, р. Тогда ф
зависит лишь от координаты q1 (х1 и соответственно R), постоянной на
поверхности Ф = const (плоскости, цилиндра).
7. Мера Альманзи. Ее представление записывается так
g = cr1e]e1 + c-2e2e2-f с-3е3е3 = §^Я^*, gsk = xs-xk.
Отсюда находим
^ft=cr1erR^R/5:-ei f ra_1e2-RJR/,-e2-|-c^1e3-RiRft-e3
или подробнее
gu = cf\ gn = о, gia - 0; (e2-R2)2+c;T1(e3-R2)2;
gs 3-^2 (e2 ¦ Кз)" J~ C3 (e3-R3)a; ^23~ca e2' ^2е2 ' R3 (r)3 * R
2^3 ' R3'
так что
g=-\gsk\--gn(giig33 - gls); a): g=-l, P): (26)
По (26) приходим к таким представлениям матриц ковариантных компонент
меры Альманзи (или, что то же самое, ковариантных компонент Е в отсчетной
§2ll
ПОСТРОЕНИЕ УНИВЕРСАЛЬНЫХ РЕШЕНИЙ
323
конфигурации)
fti - С11 а) О
О
?22 = с2 1 cos2 ф + е3 1 sin2 г|) g2 з - ^1 - сз^этфсовф > g23= (сг-1-^1)
sin ф cos ф g33 - cz1 sin2 ф + ciT1 cos2 ф
О
О
(29а)
-1
О
О
fti -С1
Р) О
I О
g22=-R2 (с21 COS2 ф+с3 1 sin2 ф) g23=R (ей1-Сз1) sin ф cos ф • g23=R (сг1
- Сз *) sin фсов ф §33=ci'1sin2 ф + с^сов2 ф 1
(29р)
Элементы этих матриц - функции одного аргумента q1 (а): ^1 = х1; $):q1 =
R)> определяемые условиями интегрируемости систем уравнений для координат
в отсчетной конфигурации по координатам ее места в актуальной
конфигурации.
8. Уравнения Риччи. Выражения компонент тензора Риччи (III.10.15),
(III .10.21) значительно упрощаются. Два из них Д1223, R2331 -
тождественные нули. Требование равенства нулю Д2323 Дзет условие (штрих-
дифференцирование по q1)
После замены в S элементов g^k обратной матрицы их значениями, получаем
S = (lngn)'+[in (g22g33 -г!з)]'=(1П?)', g = gn (gizgss-gts),
причем здесь: a) g=l, Р) g=R2- Условия интегрируемости приводятся к виду
Из них находим
а) g22 = 2AE2, g33=2AC2, gL = -2ACE-, (grafts -git) = 0,
g22 = 2AEix1 + AW2, g33 = 2AC2xl + A2B2, g23 = -('2ЛСЕХ1 +
A2BD) (31a)
- обозначения постоянных интегрирования согласованы с (9.12). По (28)
' ' '2 л
g22g33-g23 = 0.
Пользуясь им, остающиеся три условия можно привести к виду
s = gngu + ?22g2 2 "I- g(tm)g33 + 2gMg33.
ft 1 (ftsfts-g") = 2A* (ЕВ -CD)2 x'gn= 1 и> подчинив постоянные условию
(9.2), получаем
gn 2 Ах1'
(32a)
11*
324
несжимаемый УПРУГИЙ МАТЕРИАЛ
1ГЛ. 7
Остается проверить, что выбор постоянных обеспечивает положительность g,
Т ребуется
?11 > O' ?22 > 0, ?22?зз 8%з > 0. (33а)
Эти условия выполняются при А > 0 и неотрицательных х1. Знаки постоянных
В, С, D, Е, входящих квадратично и в форме квадрата ЕВ - CD, не
определены. Они назначаются так, чтобы эта разность была положительна, р)
По (30) и V8 - R имеем ?22 = aiR2-\~ °2' g23 = °3^M ait gS3"abR2 +
ae, а^аъ^а\. (31 p>
Условия положительной определенности g приводятся к виду g22^a}R2 а2 > 0,
g22g33-8M^(a,a6 Jra2ab - 2a3ai)R2~1ra2ae-al > 0. (33(3)
Pi) В первом варианте выбора коэффициентов а*, согласующемся с (9.6) и с
требованием (33а)
а-\ =о3 = й6 = 0, o2 = g22 = А2 (E2-\-D2) > 0,
"ч=?23 = -A2(BD + EC), as = gi3 = Л2 (С2 -ф В2) > 0.
(33(1,)
Напомним, что gs^ определены в базисе Rs; в нем ^?eф=R^, так что формулы
(31 Pt) полностью согласуются с (9.6).
Компонента ?п находится по выражению определителя
g=R2 =gu (g22g33 -?аз) = ?iH4 (BE -CD)2
и no (9.2)
гп = Ж- (32f5l)
p2) Сложнее второй вариант назначения коэффициентов аудовлетворяющих
неравенству (ЗЗР) и условию aia5 - a3
?22 = Л \AE2-\~F2 (R2-B)], g33=A [AC2^D2(R2-B)[,
g23=-A [ЛЕС-]-FD (R2-B)}.
Здесь, учитывая условие нормирования (9.16), получаем
g~R2~ ?ii3l:i (R2-B) (ЕС - ED)2- gnA (R2-B),
так что
("<"¦)•
Исследование не обнаруживает других соотношений, удовлетворяющих условиям
положительной знакоопределенности (ЗЗР).
9. Вектор места г в отсчетной конфигурации. Векторный базис г? отсчег-
ной конфигурации разыскивается по известным уже значениям ковариантных
компонент gsjl = rs-rjl метрического тензора Е этой конфигурации из
интегрируемой системы уравнений (1.18.12). Вектор места г определяется
вслед за этим квадратурой по (1.18.13). Получающиеся формулы должны,
конечно, представлять решения систем уравнений (9.1), (9.11) и (9.14)
относительно координат в отсчетной конфигурации, соответствующие случаям
a, (3,, (S2. Подлежащая рассмотрению система шести уравнений
^ = /,° dQl \ st j
7=\ q ,(r4 = gqr[sR г] V
= ?uri[s^, 1] +r2(g'22 [s^, 2]+gW(sl, 3]) -|- r3 (g23 [si, 2]+g33[sl, 3]
j21] ПОСТРОЕНИЕ УНИВЕРСАЛЬНЫХ РЕШЕНИЙ 325
коэффициенты которой зависят лишь от одной координаты q1 (a) q1 =
