Введение в теорию колебаний и волн. - Рабинович М.И.
Скачать (прямая ссылка):
к интегрируемым.
Случай в соответствует типичной траектории в окрестности первичного
резонанса (рис. 1.10,6). Пересечения траектории с поверхностью образуют
пять гладких замкнутых кривых (первичных островов), окружающих
неподвижные точки (случай б). Наконец, случай г иллюстрирует еще более
сложное движение: замкнутую периодическую траекторию, которая за 15
оборотов по 03 три раза обходит первичный резонанс k ~ 5; I = 2; Этот
случай представляет пример вторичного резонанса между колебаниями на
первичном резонансе и невозмущенным движением. Вторичные резонансы
возникают под действием возмущения Я3 и в свою очередь окружены
резонансами еще более высокого порядка.
Теперь ясно, насколько сложна структура регулярных траекторий. Первичные
резонансы приводят к возникновению вторичных резонансов и так до
бесконечности. Расчет регулярных траекторий (инвариантных кривых и
резонансов) рассматривается в гл. 2 и 3.
Области стохастичности. Известно, что стохастические траектории занимают
конечную область энергетической поверхности в фазовом пространстве, а их
последовательные пересечения заполняют конечную площадь поверхности
сечения. Пример двух стохастических траекторий приведен на рис. 1.10. В
случае д траектория заполняет кольцеобразный стохастический слой,
заключенный между двумя инвариантными кривыми, подобными тем, что
изображены в случае а. В этой области существуют также и регулярные
траектории, но соответствующие им островки устойчивости, окружающие
неподвижные точки (см. § 3.3), либо обходятся стохастической траекторией,
либо их размер слишком мал и их просто не удается разглядеть. В случае е
показан стохастический слой вблизи островков случая в, заполненный одной
стохастической траекторией.
Стохастическое движение всегда возникает возле сепаратрис, которые
разделяют инвариантные кривые различной топологии. Действительно, вблизи
сепаратрисы частота колебаний со стремится к нулю, см. (1.3.15). Поэтому
условие резонанса с частотой невозмущенных колебаний со0:
/гсо - со0 = 0 (1.4.3)
приводит к тому, что при приближении к сепаратрисе расстояние по
переменной действия между соседними резонансами {k и k + 1) также
стремится к нулю. Область стохастичности вблизи сепарат-
Общий обзор и основные представления
63
рисы будем называть стохастическим слоем х). В системах с двумя степенями
свободы при малом возмущении е эти слои оказываются очень тонкими и
отделены друг от друга инвариантными кривыми, ввиду чего переход
траектории из одного слоя в другой невозможен. С увеличением е
инвариантные кривые, разделяющие соседние резонансы и их стохастические
слои, сильно искажаются и в конце концов разрушаются. В результате
происходит слияние стохастических слоев и возникает глобальная, или
сильная, стохастичность. Условие такого перехода рассмотрено в гл. 4, а
характер хаотического движения - в гл. 5.
Некоторое указание на причину возникновения стохастичности вблизи
сепаратрисы можно получить из картины перекрытия резонансов, которое
приводит к чрезвычайно запутанному движению, в особенности с учетом
резонансов высоких порядков. К такому же заключению можно прийти и с
другой точки зрения, рассмотрев траекторию самой сепаратрисы. Как из
теоретического анализа, так и из численных экспериментов следует, что с
учетом возмущения сепаратриса не является уже такой гладкой кривой, как в
интегрируемой системе (рис. 1.4), а напротив, также оказывается
чрезвычайно сложной. Движение вблизи сепаратрисы подробно обсуждается в
п. 3.26. При достаточно малом возмущении инвариантные поверхности
ограничивают область стохастического движения (см. 3.2а), однако с
увеличением возмущения резонансы более высоких порядков отодвигают
инвариантные поверхности от сепаратрисы и тем самым расширяют область
сложного движения.
Мы видели, что вблизи резонанса фазовые траектории сильно возмущены. Тем
не менее внутри резонанса существуют замкнутые периодические траектории
(неподвижные точки на рис. 1.10, б и г). Устойчивость линеаризованного
вблизи них движения также связана со стохастичностью. Линейная
устойчивость решений в окрестности периодической траектории приводит к
регулярному движению, которое может быть разрушено слабым нелинейным
возмущением только за большой промежуток времени. Неустойчивые решения
приводят к экспоненциальной расходимости траекторий, скорость которой
можно принять за меру стохастичности (см. гл. 5). Можно ожидать, что в
той области фазового пространства, где все или почти все периодические
решения линейно неустойчивы, движение будет хаотическим.
Модель Хенона-Хейлеса. Рассмотрим в качестве иллюстрации хорошо известный
пример движения в двумерном потенциале
и (*> У) = -у- (*2 + У2 + 2х*У \~уЪ)' (! ЛЛ)
х) В оригинале - resonance layer (резонансный слой). В переводе
используется более распространенный в отечественной и зарубежной
литературе термин стохастический слой.- Прим. перев.
64
Глава 1
показанном на рис. 1.11. Впервые эта модель исследовалась численно
