Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Рабинович М.И. -> "Введение в теорию колебаний и волн." -> 27

Введение в теорию колебаний и волн. - Рабинович М.И.

Рабинович М.И. Введение в теорию колебаний и волн. — НИЦ, 2000. — 564 c.
Скачать (прямая ссылка): vvedenievteoriuvoln2000.djvu
Предыдущая << 1 .. 21 22 23 24 25 26 < 27 > 28 29 30 31 32 33 .. 942 >> Следующая

присутствие причудливо перемешанных друг с другом областей как
регулярного, так и стохастического движения. При этом стохастические
области отделены друг от друга областями с регулярными траекториями.
Стохастические траектории естественно возникают в результате движения,
задаваемого детерминированными уравнениями Гамильтона, которые не
содержат никаких специальных "стохастических" сил. Мы проиллюстрируем это
на двух примерах, широко обсуждавшихся в литературе: модель Хенона-
Хейлеса и ускорение Ферми. Для автономных систем с более чем двумя
степенями свободы области стохастичности уже не разделяются регулярными
траекториями, а образуют стохастическую "паутину", что приводит к так
называемой диффузии Арнольда, которая качественно описана в конце этого
параграфа.
*1.4а. Две степени свободы
Рассмотрим автономную систему с двумя степенями свободы, близкую к
интегрируемой, т. е. систему с гамильтонианом вида
Н {Jи 0i> ^г) - НоУъ А) Д (Jъ J2, 0i, 0Д, (1.4.1)
где У, 0 - переменные действие - угол невозмущенного движе-
г) Это утверждение спорно, см. примечание на с. 409.- Прим. ред.
60
Глава 1
ния, а е - малый параметр возмущения. Функция Н0 зависит только от
переменных действия, а зависимость Нг от углов 0 является периодической.
Типичный характер движения в таких системах сейчас вполне понятен.
Траектории лежат на трехмерной поверхности Я = const в четырехмерном
фазовом пространстве. При этом, согласно теории КАМ. (гл. 3), регулярные
траектории заполняют конечную долю фазового пространства. Остальные
траектории характеризуются стохастическим, или хаотическим, поведением.
Стохастические и регулярные траектории очень сложно переплетены друг с
другом, причем стохастическая траектория подходит сколь угодно близко к
каждой точке фазового пространствах), подобно тому как любое
иррациональное число может быть сколь угодно точно аппроксимировано
рациональными числами.
Регулярные траектории. Из-за того что зависимость регулярных траекторий
от начальных условий оказывается разрывной, их присутствие еще не
означает наличия в системе изолирующего (глобального) интеграла или
определенной симметрии. Однако там, где такие траектории существуют, им
соответствуют точные интегралы движения. Для регулярных траекторий
угловые переменные зависят от времени либо квазипериодически (типичный
случай), либо периодически. В первом случае частоты движения
несоизмеримы, и траектория плотно покрывает поверхность инвариантного
тора, заданного сохраняющимися значениями переменных действия. В
последнем случае траектория замыкается через целое число оборотов вокруг
тора (более полное представление об инвариантных торах дано в гл. 3).
Наиболее удобными методами исследования регулярных траекторий являются
теория возмущений и метод сечения Пуанкаре, рассмотренный в § 1.2.
Различные типы регулярных траекторий и их пересечения с поверхностью YjR
((r)i = const) для системы с двумя степенями свободы представлены на рис.
1.10. Случай а соответствует типичной траектории, покрывающей поверхность
тора. Движение вокруг главной оси тора периодично по 0Х с периодом 2к.
При этом последовательные пересечения поверхности при 02= 021, 022, 023 .
. . ложатся на замкнутую инвариантную кривую и плотно покрывают ее за
большой промежуток времени. Случай б соответствует резонансу
tm1(J) + lu2{J) = 0, (1.4.2)
где а>1 = 0lf со2 = 02, k и I - целые числа. Резонансная траектория
замкнута. При k = 5, 1 = 2 она пересекает поверхность Y.R в пяти точках,
которые называются неподвижными, или периоди-
Ч В общем случае это справедливо лишь в пределах одной хаотической
компоненты движения, которая для системы вида (1.4.1) может охватывать
максимум всю энергетическую поверхность.- Прим. ред.
Общий обзор и основные представления
61
Р
<?
0
о
в
13 • 8" #3 .10 5 * • 15 11 6*. • 1; 16
12
• • 14
7 • 9"
• •
2; 17 4
г
Рис. 1.10. Поверхность сечения (0! = const) для автономной системы с
двумя степенями свободы.
а - инвариантная кривая (крестики - последовательные пересечения
траектории с поверхностью 2^); б - периодическая траектория в центре
первичного резонанса k = 5, 1 = 2 (показаны первые семь пересечений); в -
инвариантные кривые вокруг периодических точек (k = 5, I = 2); г -
периодическая траектория вторичного резонанса (период 3) внутри
первичного резонанса (б) (показаны первые 17 пересечений); д -
стохастическая область, ограниченная инвариантными кривыми и охватывающая
несколько первичных резонансов; е - стохастический слой в окрестности
сепаратрисы первичного резонанса k = 5, / = 2.
62
Глава 1
ческими, точками движения. Поскольку при таком движении траектория
невозмущенного гамильтониана замкнута и периодична, то мы называем такой
резонанс первичным. Резонанс б - специальный случай инвариантной кривой,
когда число вращения ?7 рационально. Резонансы и их взаимодействие играют
важную роль в возникновении стохастического движения в системах, близких
Предыдущая << 1 .. 21 22 23 24 25 26 < 27 > 28 29 30 31 32 33 .. 942 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed