Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Рабинович М.И. -> "Введение в теорию колебаний и волн." -> 264

Введение в теорию колебаний и волн. - Рабинович М.И.

Рабинович М.И. Введение в теорию колебаний и волн. — НИЦ, 2000. — 564 c.
Скачать (прямая ссылка): vvedenievteoriuvoln2000.djvu
Предыдущая << 1 .. 258 259 260 261 262 263 < 264 > 265 266 267 268 269 270 .. 942 >> Следующая

формулам (6), (7), (18), (20), после вычисления получим
Эта величина отлична от нуля. Критерию существования корректирующего
вектора w нельзя удовлетворить, хотя для каждой из деформаций по
отдельности (а^О, q = 0), (а = 0, q^Q) он выполняется. Любое направление
служит осью равновесия, так как левая часть уравнения (11.10) -
тождественный нуль.
Этот пример невозможности построения эффектов второго порядка приведен в
монографии Гриоли (Grioli, 1962).
§ 14. Эффекты второго порядка в плоской задаче для полулинейного
материала
Задача рассматривается в предположении с = 1 в исходных определениях
(8.1); вводится, вместо (8.18), обозначение
Далее предполагается, что q > 2 (Я-]~р)/(А. + 2р), так что ф(9) > 0; при
ф(<7) = 0, (? = 2 (?1 + р)/(Я-1-2р,) по (8.16) и по (8.26), (8.27)
получили бы a1=ai =- 4р -среда находится в состоянии гидростатического
сжатия интенсивности 4р. При принятом условии М2(У- функция, не имеющая
нулей в рассматриваемой плоской области Si. Напомним также, что при' q =
2, ф(9) = 2р, М2 (?) = exp ty, напряженное состояние отсутствует.
Основное соотношение (8.19) связи искомых функций z(?, С) и М2 (?) в ^-
области переписывается в виде
ф(9) е*=Ф' (0 = 2рМ2(?).
(1)
Из него получаем
так что
: §м!
ПЛОСКАЯ ЗАДАЧА ДЛЯ ПОЛУЛИНЕЙНОГО МАТЕРИАЛА
245
Выражение производной г по дуге контура I в области b (в отсчетной
конфигурации) приобретает вид
Такова нелинейная краевая задача разыскания двух аналитических в b
функций М (?), N (I).
Непосредственно проверяется, что правая часть (6) удовлетворяет условиям
статической эквивалентности нулю распределенной по контуру I области
системы сил /. Используются соотношения
$ф(?> t)nds = 2 (T-^Ldo, (f>cp(?, ?)nds = 2 Qdo, (7)
/ fc 3 / I h
представляющие форму записи преобразования Гаусса -Остроградского,
например,
По (5) выражение главного вектора V сил / представляется функцией
и условие (8.20) представляется соотношением
*,+2[х
2ц(^+ц)
(С) .(6)
§ Ф (?>f Qnds=(ft (nt + m2) ф (?, I) ds
Выражение момента силы записывается в виде
xfy-yfx = ji(zf-zf)
246
ЗАДАЧИ НЕЛИНЕЙНОЙ ТЕОРИИ СЖИМАЕМОЙ СРЕДЫ
[ГЛ. G
и по (6) имеем
Н-2ц
2t(i. + jL)"'' = T(W-zftdS =
= {г" [ж(r)
Mg)
Mg)
+тф\
д М(0 d?-N'(Q
lZnU di Mg)
-гп
- zri
M4Q-
M(t)
Mg)
| ds -f-
Г d Mg) ,y --------------
I dt ЖШ (0
dt, Mg)
i)
ds.
Этому выражению, если исключить из него по (2) и (4)
Mg) с д Mg)
- f-
Mg) ' J Mg) и использовать преобразование (7), придается вид т° = i\i(j)
[znM2 (2) - znM2 (^)] ds =
= 2tp
dz
- МЩ)----------=
dt, vw dt,
M2(D
do.
По (1) и (8.19) выражение под знаком интеграла равно нулю, как и
требовалось.
Переходим к рассмотрению эффектов второго порядка. Не имеющая нулей в 6-
области функция экспоненциально представима в ней, так что
№(?) = ех pQ(0,
^K=expi[Q(0-fi(c)],
ЖУШ'dl=~i Q' (r) Iехр ^110 (r)-Si (?)] dt'
В рассмотрение вводятся потенциалы Мусхелишвили Ф(?), Y (?), дающие
решение линейной задачи
/° = П [ф (?) + Ф (?)] - П [?Ф' (D + Ч (Ш
(В)
(предполагается здесь и далее, что нагружение "мертвое", иначе говоря, -
- сила остается при деформировании неизмен-
ной).
§ 14] ПЛОСКАЯ ЗАДАЧА ДЛЯ ПОЛУЛИНЕЙНОГО МАТЕРИАЛА 247
Соотношение (8) позволяет теперь заменить краевое условие (6) записью
п (Ф (Q + Ф (?)) - п (?Ф' (?) + Т (?)) =
= 2п [ехр й (?) - ехр у (Q (С) - Й (?))] -
Е
Й' (S) jexp-i(fi(C)-Q (?))<*?+ #'(?)
- п
• (9)
Модули функций Ф(?)> Ч1- (?), решающих линейную задачу, имеют порядок
линейных деформаций. Чтобы учесть эффект второго порядка, следует принять
й(0 = ф(С)+фле). ^(0-^(0 +'МО (Ю)
- корректирующие слагаемые Фг (?), (С) должны быть по край-
ней мере второго порядка. Отбрасывая слагаемые выше второго порядка,
получаем
1
ехр Й (С) = 1 + Ф (О + Фх (О + у Ф2 (О, ехр у (Й (О - Й (?)) =
= 1 4 у (Ф (О - ФЦ)) +| (Фг (С) - ФЛО) + i (Ф (0 - Ф7Г))2-
2 Г
ехр Й (0 - ехр ^ (Й (0 - Й (0) = (Ф (0 + Ф (0) +
+ (Ф1 (О + Фх (0)+i Ф2 (0 - j Ф2 (0 + 2 Ф (0 ф (О.
Е
й' (0 j ехр 1 (Й (?) - Й(r)) 4 = [Ф' (О + Ф( (0] ? +
Е
+|ф' (0 j [Ф(0-Ф(0]^.
После подстановки этих выражений в (9) линейные относительно Ф(0, Ч1-(О
слагаемые сокращаются; это служит проверкой того, что первые слагаемые в
(10) действительно дают решение линейной задачи. Для определения ФЛО" 'МО
получаем краевое условие
п (ф( (о+ф; (о - пт (о - nwt (q =
= |я(--|ф2 (0 + уФЛо-Ф(ОФ(c)) +
+ 1п(фЛ0 ]'ф(0^-?фЩфЛо), (И)
248 ЗАДАЧИ НЕЛИНЕЙНОЙ ТЕОРИИ СЖИМАЕМОЙ СРЕДЫ 1ГЛ. о
соответствующее линейной задаче с "поверхностными силами"
1п(-|фмо+4^-ф(c)ф7Г))+у"(фг(Р1(,ф(0 #-
-?Ф(?)Ф'(Qj^nPG, y + nQ&, 0, (12)
известными по решению задачи (8). Без труда проверяются соотношения
о ^- + -^==0
Из них и формул (8) следует, что главный вектор "сил" (12) равен нулю.
Выражению главного момента их придается вид
т° = Ti $ t?(пР + nQ)- ? (пР + ftQ)]ds =
I
= -i]\(P-P)do = 2i\\ (Ф2 (?) -ФЙЁ)) do
ь ь
и условие обращения его в нуль приводит к соотношению
$$[Ф2(?)-ФЧЦИо = 0. (13)
!>
Но^решение линейной задачи определяет функцию Ф (?) с точностью до
Предыдущая << 1 .. 258 259 260 261 262 263 < 264 > 265 266 267 268 269 270 .. 942 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed