Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Рабинович М.И. -> "Введение в теорию колебаний и волн." -> 263

Введение в теорию колебаний и волн. - Рабинович М.И.

Рабинович М.И. Введение в теорию колебаний и волн. — НИЦ, 2000. — 564 c.
Скачать (прямая ссылка): vvedenievteoriuvoln2000.djvu
Предыдущая << 1 .. 257 258 259 260 261 262 < 263 > 264 265 266 267 268 269 .. 942 >> Следующая

L
a2Ip а 2С 1 /. п'к
25 ' 25 ЗЯ+2р V 4р 171
а2/
Р , а2С nv
25" 25 (1 + v) LV 4р
¦0-2v>?
(14)
Укорачивается ли стержень при кручении или удлиняется, наперед сказать
нельзя: это зависит от постоянных материала; напомним, что для многих
материалов п < 0, т < 0.
3. Растяжение стержня. При действии продольной силы R вектор
перемещения точек призматического стержня и тензор
*) Задача была рассмотрена Ривлиным (R. S. Rivlin, 1951). После
согласования с принятыми Ривлиным обозначениями обнаруживается отличие
(141 от формулы Ривлина - в ней первое слагаемое в квадратных скобках 2v,
а не v. Вычисление в тексте многократно проверено разными путями.
jl3] ЗАДАЧА О КРУЧЕНИИ И РАСТЯЖЕНИИ СТЕРЖНЯ 241
напряжений в нем определяются общеизвестными формулами v = - ve3p +
i3e3a3, Т° = 2р(1 + v)e3i3i3;
R а 3
3 2(l-f-v)pS 2(l+v)p'
так что
Vv = e3 (-vE2 + i3i3) = VvT = ?(v), V. v = ft = (1 - 2v) e3, w = 0, (15)
причем E2 = ip, +i2i2. Требуемые для вычисления эффектов второго порядка
величины оказываются равными
T°.VvT = 2p(l -fv)e|i3i3, Д (s2) = (1 + 2v2)<?§,
VvT • Vv = ei (v2E2 -f- i3i3).
Корректирующий тензор напряжений T' по (10.9) представляется выражением
Г - el | Е2 [i Я (1 + 2v2) +1 (1 -2v)2+ (2m-л) v (1 + v) + (n+p) v2] + +
i3i3 [lA(l+2v2)-f/(l-2v)3-f-(2m-")(l-v2)+"-f-p]}.
Необходимое условие (11.9) существования корректирующего
о
вектора w соблюдено, конечно, так как ш = 0. По (11.21) среднее
относительное удлинение, налагаемое на е3, оказывается пропорциональным
el и зависящим только от упругих постоянных материала
. 4" ~ -Т Д - 2v)2-J-2m (1 - v) (1 -f v)2 -|~3nv2] (J
(? = 2p(l+v)).
"Характеристику" материала (диаграмму е3,сг3 растяжения образца) называют
мягкой при AL/L < 0, жесткой -при AL/L >0.
4. Кручение растянутого стержня. Далее величины, относящиеся к
кручению, снабжаются индексом 1, а растяжению -
о о
индексом 2. В частности, ю = (о1,
Необходимое условие существования (11.9) вектора w остается выполненным,
так как
J [ts • (ot - щ! t (TJ) ] dv = (1 + v) ре,ос j j J ( p - Vip x i3) dv =
0.
242 ЗАДАЧИ НЕЛИНЕЙНОЙ ТЕОРИИ СЖИМАЕМОЙ СРЕДЫ [ГЛ. 6
Далее по (4) и (5)
о о о Г 0 "1
Vv = Vvt + Vv2 = а |_а3 (IJ, - i2ij) + i3i, X р + V<pi3J +e3 (-vE2+i3i3)
и поэтому
To.vvr=T;.Vvi+T§-Vvn~T;-vvi+T"-Vvi=
= T?-VvI + T^-VvT+p.ae3 [ - vi3 (i3Xp) + i3 (i3Xp)+V<pi3] +
+ 2pae3 (1 + v) [i3 (i3 x p) + i3
Отсюда следует, что на формирование средних значений /i(t°- VvT), о
i3T0Vvri3 взаимодействие деформаций кручения и растяжения не влияет; их
действия аддитивны. Слагаемые взаимодействий, входящих в представление
(10.9) корректирующего тензора, образуют тензор
"/1л 1\ /0 0 0 О \ /00 о о \
Т =Е (т к + т~2п) К (ei-e2 + e2-8i) + n -s2+e2-ej +
о /00 о о \
+ (2 т - п) { Vvl-Vv2 + Vv|-VvJ
и легко обнаруживается, что первый инвариант этого тензора и его (ЗЗ)-
компонента равны нулю. Средние величины эффектов второго порядка в задаче
о совместном кручении и растяжении равны сумме этих величин в каждой из
деформаций по отдельности. Конечно, здесь речь идет об исключении из
общего правила-в нелинейных задачах эффекты действия отдельных факторов
не аддитивны.
5. Кручение сжатого по боковой поверхности стержня. Боковая
поверхность стержня нагружена давлением, пропорциональным осевой
координате f = - ^a3n. Непосредственно проверяется, что уравнениям
статики в объеме и на поверхности о
V-T° = 0, п-Т° =- qa* п
можно удовлетворить, приняв
Т°=- - qa*E2. (18)
Уравнения Бельтрами также выполнены, поскольку Т° лишь линейно зависит от
координат.
Линейный тензор деформации, вычисляемый по известной формуле, оказывается
равным
j 13] ЗАДАЧА О КРУЧЕНИИ И РАСТЯЖЕНИИ СТЕРЖНЯ 243
По нему интегрированием (например, по формуле Чезаро) находим вектор
перемещения
<за3 1-v , о /1-v 1 . v "
у=-^ггт^р+21г(тт^тР-р+гйа
и далее вектор малого поворота
(0 = -^ГГ^'зХР- (2°)
Необходимое условие (6.11.9) существования вектора w выполнено, так как
здесь
555^[тв.ю_ю/1(т°)]=
L/2
-V
2ix 1 -j-v
-L/2
J a3da3 Л do [Е2- (i3 х р) - 2i3 х р] = 0. (21)
Начало координат выбрано в центре инерции стержня
L/2
j a3da3 = 0, ^pdo = 0. (22)
-L/2
. Переходим теперь к рассмотрению совместной деформации кручения и сжатия
по боковой поверхности. Тензор в левой части уравнения (11.10) теперь
записывается в виде (величины, относящиеся к сжатию, обозначаются
индексом 3, к кручению - индексам 1) .
Ш tT° + v*) - Е/1 (т° (v* + уз))] dv =
V
L/2
= J da3 JJ do (T° (Vl) - qa3E2 + 2qa3E) = 0,
-L/2 S
как следует из (22) и (7). Надо рассмотреть теперь правую часть Ш [т° (у1
+ у3)-(и1 + (03)-((01-|-(0з) МТ0 (vt + v.))]dt/ =
V
= Ш [т° (ух)¦ Ю1 + т° (v3)• ю3 +Т°(у1)-щ, + Т (vs)-(c)i -
V
- (r).Л (Т° (Vi))-"i/i (т (Va))]du =
L/2
= 5 da3 $5^о[т0(у1)-(о3 + Т0(Уз)-(о1-ю1/1(т(у3))] = Л13,
-L/2
I
244
ЗАДАЧИ НЕЛИНЕЙНОЙ ТЕОРИИ СЖИМАЕМОЙ СРЕДЫ
[ГЛ. G
так как остальные слагаемые по (21) и (12) отпадают, остались лишь
величины, обусловленные взаимным влиянием деформаций. Обратившись к
Предыдущая << 1 .. 257 258 259 260 261 262 < 263 > 264 265 266 267 268 269 .. 942 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed