Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Рабинович М.И. -> "Введение в теорию колебаний и волн." -> 259

Введение в теорию колебаний и волн. - Рабинович М.И.

Рабинович М.И. Введение в теорию колебаний и волн. — НИЦ, 2000. — 564 c.
Скачать (прямая ссылка): vvedenievteoriuvoln2000.djvu
Предыдущая << 1 .. 253 254 255 256 257 258 < 259 > 260 261 262 263 264 265 .. 942 >> Следующая

f(r)
Г(г)+[У
+ /2 (Г) 0'V)
sin у =- / (г) 0' (г).
(15)
2 -f- р)
Х + 2ц
По (8.13) и (8.16) имеем
Х = 0 + у, гр(<7) = (Л-f 2р)
(было уже принято в (10), что с=1). Введенная соотношением (8.18) функция
Ф' (Q представляется теперь выражением
2 (А, (х)
Ф' (?) = (Я+2|г)
e'(0+v).
(16)
А. И. Лурье
226 ЗАДАЧИ НЕЛИНЕЙНОЙ ТЕОРИИ СЖИМАЕМОЙ СРЕДЫ [Гл. 6
Итак, эта разыскиваемая в кольце г0^.г^.г1 и представляемая в нем рядом
Лорана функция комплексного переменного оказалась зависящей только от г.
Поэтому она постоянна. Принимается обозначение
Ф' (?) = С^ + 2ц) D - б1'13, D = const, р = % = const. (17)
Задача сведена к рассмотрению системы дифференциальных уравнений
f +iy + /20,! = D2 или (г/),2 + г720'2 = ^2, (18)
/' + -
cos у = --ц- - cos (Р - 0), siny = = sin (j4 -0). (19)
Из последней получаем
r/sin(p-e) = c, (го
где С -новая постоянная, причем, обратившись к (11), имеем
r?sinp = C, rjsin (Р - а) = С, = мп8?~-^. (21)
Исключив теперь rf с помощью (20) из выражения (18), после замены С
значением (21) и очевидного вычисления придем к дифференциальному
уравнению
9'* PV2 dQ Dr (!?9)
sin4 (Р-0) r4 sin2 р ' sin2 (р 0) ~ го | sin Р | ^
Его решение после определения постоянных по условиям (11)
приводится к виду
ctg Ф - 0) = 4=4 ctg (р - а) + 4=4 ctg р. (23)
Г1 - Г0 Г1 - Г0
Это уравнение совместно с соотношением
fr sin (Р - 0) = ^sinp (24)
и формулой для определения постоянной (4
r|_sin(P-а)
г\ sin р
дает решение задачи.
Jiol ЭФФЕКТЫ ВТОРОГО ПОРЯДКА. ИСХОДНЫЕ УРАВНЕНИЯ 22?
Заметим, что определенная выше постоянная D оказалась равной
В = 2 г°- [ctg (Р - об) - ctg fi] | sin fi |. (26)
ri-r0
Напряжения определяются по формулам (8.26), (8.27)*).
§ 10. Эффекты второго порядка. Исходные уравнения
Уравнение состояния линейно упругого изотропного тела
T = V}E+2p,e ^6=/1(е), e = y(vu + VuT) (1)
выводится в предположении о малости компонент градиента век-о
тора перемещения Vu при последовательных пренебрежениях второй и более
высокими степенями относительно этих величин. В гл. 6, § 6 уже
говорилось, что учет количественных отклонений от предсказаний линейной
теории естественно связывается с сохранением слагаемых второй степени по
этим величинам - с рассмотрением "эффектов второго порядка".
В § 14 уже говорилось, что учет более высоких степеней связан, как
правило, с необозримо громоздкими вычислениями.
В этой книге не отведено также места построениям рядов по о
степеням Vu и исследованию их сходимости.
В определяющем уравнении изотропного упругого тела (4.3.4)
мера деформации F должна быть заменена ее представлением о
через Vu
00 ( О \ / 0 \ О 00
F = VRT- VR = уЕ + VuTy • (,Е + VuJ = Е + 2e(u) + VuT-Vu. (2)
Тогда в принимаемом приближении
оо оо F2=^ E + 4? + 4e2 + 2VuT- Vu,
71(F) = 3 + 2& + 2o).o) + /1(e2), (3)
/2( F) = 3 + 46 + 262 + 4o)-o),
/3 (F) = 1 + 26 + 262 + 2o) • to -/j (e2)
*) Предложение использовать для решения задачи преобразование (10)
нсходит от Н. X. Суюншкалиева. В его (еще не опубликованной) работе
рассмотрены другие варианты постановки задачи.
8*
228 ' ЗАДАЧИ нелинейной ТЕОРИИ сжимаемой СРЕДЫ [гл. Г]
- была использована формула (1.7.13). Определяющее уравнение приводится к
виду
Т = 2/з1/г [е (Ф0 + Ф1 + Ф2) + 2 (ф! + 2ф2)? +
-f (xpi + 2ф2) VuT- Vu + 4гф2еа]. (4)
Здесь по (4.3.5)
/ = Фо + Ф1 + + (/1 - 1) э2 + /3э3,
Ф = ф1 + 2ф2 = э1 + (/1 -2)э2, ф2 = -э2, (5)
причем эк = дэ/д1к. Далее эти величины определяются с требуемой
точностью: f - с учетом квадратичных, ср - линейных слагаемых; значения в
натуральной отсчетной конфигурации обозначаются нуликом справа сверху.
Используются формулы (4.3.22), (4.7.12) и (4.7.13)
, Г=Ф1 + 2з, + зв)0 = 0, ф°=(э1 + в,)° = - (э2 +
з3)° = у[х,
1 , Г/ д , " д , д Т1 =
д]1~г2дГ2 + дГ3) f
= [э11 ~Ь 2э22 -+- э33 2 (2э12 + 2э23 -j- э13) + э2 4-
э3]°. (6)
Рассматриваемые величины разлагаются в ряды по степеням 1Х - 3, /2 - 3,
/3 - 1. С требуемой точностью получаем, использовав формулу для К,
Ф-1,+29(|? + 2|?+|г)- =
= у р + 2й (эп -f- Зэ12 + 2э22 + Э31 + э32+э2)° =
= у р + у - 2d (з12 + э3 +э13 + Зэ23+ э33)".
На этом этапе тензор напряжений Т можно представить выражением
Т = 2/;71/2Е/ + 2р (1 - {}) в + 2te(t -
8ей(э12 -|-э3 +э13 Зэ23 + э33)° - 8э2е" + pVur- Vu =
= 2/^'/2E/-f 2 (1 - 0) e + 2e-T0 + 893?2 + pVuT-Vu -
0
- 8 (512+5з + э1з-ЬЗэ234-Э33)0?гК
причем использовано представление (1) тензора напряжений в отсчетной
конфигурации и формула (6) для р; 1з'/г заменено на 1- •& и 1 при
умножении на линейное и соответственно квад-
10]
ЭФФЕКТЫ ВТОРОГО ПОРЯДКА. ИСХОДНЫЕ УРАВНЕНИЯ
229
ратичное слагаемые. Остается дать представление / рядом с точностью до
квадратичных слагаемых
/ = /° + 2(6 + о>-а>)
, J- + 2-L + -
l\dlt r dl^ dh
']•+
+2^[{w2 + W3 )f_
д2} \в-
+4 Г(Л -3)' (!?)' + • • • + 2<Л - о <л -з) №>-ал
= 4 (" + "¦")+т/> (еа) + 2 /, (в'
2
+ 262
a/2 + a/~) f
+
д2
77? + 4 772+ 4
а2
dll
a/i д/2 д!
д2 |_4 32
а2
а/2 а/.
а/3а/
+
X (ч | А, /
= 7Г$ + ТГ ( <в'(c)-
Предыдущая << 1 .. 253 254 255 256 257 258 < 259 > 260 261 262 263 264 265 .. 942 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed