Введение в теорию колебаний и волн. - Рабинович М.И.
Скачать (прямая ссылка):
поставить вопрос по-другому: существуют
х) Вообще говоря, необходимо еще проверить коммутируемость интегралов,
что было сделано для произвольного числа степеней свободы в работе
[455].- Прим. ред.
Общий обзор и основные представления
55
ли методы конструирования потенциалов, приводящих к интегрируемым
гамильтонианам? Такой метод действительно существует по крайней мере для
ограниченного круга задач. Впервые этот метод был применен Уиттекером
([430], § 152) к исследованию движения частицы, которое описывается
гамильтонианом
H=~pi+-~pl+V{qb qt). (1.3.60)
Уиттекер поставил вопрос: существуют ли такие функции V, для которых
система имеет интеграл не выше второй степени по р:
I(p, q) = ap2l + bpti-cp1pi + ep1 + fp2 + g, (1.3.61)
где коэффициенты зависят от д? Чтобы такая функция была интегралом
движения, необходимо выполнение условия
[/, Я] = 0. (1.3.62)
Подставляя (1.3.60) и (1.3.61) в (1.3.62) и приравнивая коэффициенты при
pTpz, получаем систему уравнений в частных производных для этих
коэффициентов, выраженных через потенциал V и его первые производные.
Линейные по р члены приводят к независимым уравнениям
-*_=о, -2L=o, -^ + -*-=о, (1.3.63)
dqx dq2 dqx dq2
в- г / = 0. (1.3.64)
d9i dq2
Для остальных членов:
да Q db _ q дЬ дс q
dqx dq2 dqx dq2
дс , да г, (1.3.65)
dqx dq
= 0,
A_2a_^._c^_=0,
dqx dqx dq2
ds _2*JIL_c_eL=o.
(1.3.66)
dq2 dq2 dqx
Так как уравнения (1.3.63) и (1.3.64) независимы от (1.3.65) и
(1.3.66), то первые можно решить отдельно, что приводит к линейному по р
инварианту:
I = ЯгРч Q2P11
который существует для аксиально симметричного потенциала
V = V{q! + ql). (1.3.67)
56
Глава 1
Это не что иное, как сохраняющийся момент импульса, с которым мы
познакомились в задаче о центральных силах. Поищем решения, не связанные
с этой симметрией. Положив е = f = 0, получим из (1.3.65) и (1.3.66):
V дЯ\ dq\ )
dqxdq2
дс п да \ dV /0 дЬ дс \ dV
./2-"
\ д(п
= 0.
\ dqi dq2 ) dqi \ dqi dq2 / dq2
(1.3.68)
где a, b и с определяются из дифференциальных уравнений (1.3.65).
Уиттекер показал, что уравнение (1.3.68) имеет характеристики вида
-- =1,
а2 а2 - у2
где х и у связаны с qx и д2 простым преобразованием координат, а а и у -
постоянные интегрирования. Если выбрать за новые переменные параметры
этих конфокальных эллипсов и гипербол
у=- [(а2-у2) (у2- Р2)]12,
У У
то дифференциальное уравнение для V, (1.3.68), будет иметь решение
V = г|,(а)~ф(Р) , (1.3.69)
а2 - Р2
где ф и ф - произвольные функции.
Этот интересный результат, однако, не привел пока к новым решениям
физических задач. Тем не менее в последнее время происходит возрождение
интереса к конструированию интегрируемых гамильтонианов1). Холл [174 ]
применил такой метод к движению частицы в статических электрическом и
магнитном полях, явно введя в задачу векторный потенциал. При этом он
обнаружил, что решение Уиттекера не является полным, так как в нем не
учитываются ограничения, связанные с сохранением энергии 2). Им были
рассмотрены также и другие классы инвариантов, не квадратичных
9 Наибольшее влияние на это оказала работа [456] (стимулированная в свою
очередь знаменитой проблемой Ферми-Паста-Улама [127]), в которой был
предложен мощный метод обратной задачи рассеяния, позволяющий
конструировать целые семейства интегрируемых гамильтонианов. Современное
состояние вопроса см., например, в книге [457].- Прим. ред.
2) Речь идет о том, что из-за сохранения энергии изменения рг и р2 в
(1.3.61) не являются независимыми. Поэтому условия интегрируемости
Уиттекера (1.3.63) - (1.3.66) достаточны, но не необходимы (см. также
[458]).- Прим. ред.
Общий обзор и основные представления
57
по импульсам. Целью этих исследований было найти самосогласованное
решение для токов в плазме, обеспечивающих ее удержание. Однако
вследствие чувствительности интегрируемости к небольшим изменениям
потенциала, о чем свидетельствует сравнение потенциала Тоды с его
приближением в форме потенциала Хенона и Хейлеса, кажется маловероятным,
что для реальных потенциалов таким путем удастся достичь полной
интегрируемости движения. В связи с этим представляет интерес вопрос:
насколько сильным может быть возмущение интегрируемой системы, чтобы
большая часть траекторий осталась регулярной? Этот вопрос подробно
рассмотрен в гл. 2 и 4.
Другой подход развивается Хольтом [198]. Он рассмотрел гамильтониан
Я = Я0 + еУ (1.3.70)
и потребовал, чтобы потенциал V был выбран так, чтобы все члены ряда
теории возмущений со степенью е, выше заданной, были бы тождественно
равны нулю. При помощи такой процедуры ему удалось построить инвариант
(1.3.59) для гамильтониана Тоды. Он показал также, что этот инвариант
можно получить и методом Уиттекера, если включить кубические по р члены.
Процедура остается при этом прежней, как описывалось для квадратичных по
р инвариантов, но становится гораздо более сложной. В общем случае такой
метод не способен определить, существует ли инвариант для гамильтониана
