Введение в теорию колебаний и волн. - Рабинович М.И.
Скачать (прямая ссылка):
Т - - рЕ,
(l-S2)fe + 66(l + 6)(;+|)]=-/Jx(6).(16)
Здесь через р обозначено давление, прилагаемое, чтобы сообщить
первоначально сжатому (б < 0) или растянутому (б > 0) материалу
перемещение w. Получаем
kx(0) = k, *х(0) = 6 (/+?). (17)
§3]
МАТЕРИАЛ МУРНАГАНА
161
Это соотношение указывает на принципиальную возможность определения / +
л/9 по наклону касательной к кривой kx (б) в отсчетной конфигурации (при
6 = 0). Большинство экспериментальных данных свидетельствует, что k'x (0)
< 0 - сопротивляемость материала изменению плотности растет вместе с
последней.
Например, обработка результатов опытов Бриджмена с натрием, в которых
давление доводилось до 100 000 атм, приводит (Мурнаган) к численным
значениям
& = 0,628'104 атм, и + 91 = ~~406,2-104 атм.
Как видно | н + 9/1 k - при таких нагружениях учет нелинейных слагаемых
необходим.
б) Принимается, что предварительно сжатая среда (6 < 0) подвергается
простому сдвигу в плоскости OXY параллельно оси ОХ. Обозначая через s
параметр сдвига, имеем
w = i1(l + 6)sa2, Vw = i2ix (1 -f 6) s, V-w = 0, e(w) -y(iii2 + Ui) (1 +
6)s, f°=[i (Mg-fM!) (1 +8) s. (18)
По (14) получаем
^ = (*1*2 "1" *2*l) Бг>
(l+8)n + (1+6) 8 (3k + 3m - y') s ~ fix (6) s, (19)
так что
Px(0) ~p, px (0) = 3 (Я p) + 8m-2". (20)
Здесь т12 - касательное напряжение, сообщаемое предварительно сжатому
материалу, чтобы осуществить сдвиг.
Величины k'x(0), Цх(0), определяющие изменения модулей объемного сжатия и
сдвига из натуральной отсчетной конфигурации, отнесены в формулах (17) и
(20) к значениям относительных удлинений 6. Отнеся их к объемному
расширению
?х(6)=?хх(36), Рх(6) = Рхх(36),
получаем
^*(0) =2 (/+-§-), р;х(0) = Я + Р + т-|-. (21)
Соотношения (17), (20), (21) указаны Вангом (Wang, 1965).
6 А. И. Лурье
162
УРАВНЕНИЯ СОСТОЯНИЯ НЕЛИНЕЙНОГО МАТЕРИАЛА
[ГЛ.
§ 4. Преобразование коэффициентов уравнений состояния Синьорини и
Мурнагана
Представления удельной потенциальной энергии деформации тела Синьорини по
(2.7) при отсчетных конфигурациях v, v, связанных преобразованием подобия
(4.4.3), имеют вид
з ~-= (/з)"1/2 [щ (П + 1) -!- "С (1{2 + 3) + т3 (/; - 1) - р], (1)
3-= (/з)_1/а [^"1 С/а + 1) -|-m2 (/j2 + 3) -h m3 (?0 - р]. (2)
Здесь /* = /*(g) и инварианты Гк, Гк связываются в отличие от формул
преобразования (4.4.5) инвариантов Ik{F) соотношениями
I'l -КЧ[, ?'а-кч'а, /.; кч:
(3)
(обозначение коэффициента подобия а в (4.4) здесь заменено на К). По
(4.4.6), (1) и (2) получаем
э -= К3э, т1(1'2+\)+т2(Г1г + 3) + тя(Г1 - 1) - р--= -= т, (К*Г, +1 ) + т2
(КЧ[2 + 3) + щ (К2 К - 1) - р
(4)
и этому соотношению удовлетворяют значения mk и р, определяемые по
формулам
тл
т2 = К~*т2,
тч
К~2т3,
Р=~-Р +
1 -К*
[(/тц + 3m?) (1 + К2) - т3К2]-
При обозначениях (2.8) они приводятся к виду
(зя+р--^)(1 -/с"), р=/<">+4 (зх+р,-
1 1- к2
8 /С4
(1+К2)
г ) (1 -/С2), с-К-Ч, ЗА, + Зц) + К2 (6Х + 2ц-с)
(5)
(6)
Принято р== О, и-конфигурация натуральна; р -всестороннее растяжение
(сжатие при р<0), обеспечивающее преобразование v в и-конфигурацию.
Для материала Мурнагана аналогичное рассмотрение, проводимое по формулам
(3.2) и (4.4.5), приводит к формулам Брил-луэна (L. Brillouin, 1938)
п=К2п, т = Kziny 1 = КЧ,
I- К2 К
2]х = К |^2р -f (1 -К2) (д - 3/л % + 2р = К [Я + 2р + (1 - К2) (2т +
3/)],
- -f ? f -j-(1 - К2) (п + 9/)] [k = % + \-Ц
(7)
(8)
§ 5] ПОЛУЛИНЕЙНЫЙ МАТЕРИАЛ ДЖОНА ЮЗ
формула (8) определяет напряженное состояние всестороннего растяжения
(сжатия при р < 0) в н-конфигурации; она согласуется с (3.13), если
пренебречь в ней степенями б = /С - 1 выше второй. Обозначив через 0
относительное объемное сжатие
имеем по (8)
- 3 -- (1 - Q)-1/- 'J [1 - (1 - (c))а/-11- ^ - 4-11 - (1 _0)v*] (" + 90 У =
=?е + 1(?-/-!)е*, (Ю)
если отбросить степени выше второй. В металлических материалах при
всесторонних давлениях, не превышающих Ю4 атм, не обнаруживается
отклонений от линейной зависимости
- /7-/50. (11)
Коэффициент линейного температурного расширения а(0) определяется
уравнением
dl - 1а (0) йв
и при преобразовании подобия, осуществляемом в переходе от
изотермического состояния v к изотермическому v
?-Я7, ell - / dK =7~, у =^ = а(О)а'0,
так что
е
К = exp J а (0) Ф0, (12)
о
причем 0 -разность температур изотермических состояний v и V. Этой
формулой совместно с (5) и (7) определяется зависимость коэффициентов
тел Синьорини и Мурнагана от температуры.
При слабой зависимости от температуры и в небольшом диа-
пазоне температур
К 1 '¦/.0. (13)
§ 5. Полулинейный материал Джона
В линейной теории упругости удельная потенциальная энергия деформации э
выражается, как известно, квадратичной формой главных значений линейного
тензора деформации
з = 1 [К1\ (г) + 2и/, (е2)] - 1 [7 (е, + е2 + е3)2 + 2р (е? + е2а + е2)].
(1) 6"
1G4 уравнения СОСТОЯНИЯ нелинейного материала [гл. Г-,
Основываясь на аналогичном представлении э, но через главные
относительные удлинения 6ft, определяемые формулами (1.4.10) теории
