Введение в теорию колебаний и волн. - Рабинович М.И.
Скачать (прямая ссылка):
отступление от подходов механики сплошной среды привлекают к построению
определяющих уравнений статистические представления; предложенные
соотношения корректируют и дополняют экспериментальной проверкой.
Нет недостатка в критических высказываниях, относящихся к описанным
приемам. Например, "природа не отдает предпочтения представлениям
функциональных соотношений степенными рядами" (Трусделл); "там где не
хватает идей, им на смену приходят слова - простота, доступность"
(Ривлин).
Успеха в рассмотрении этой "главной неразрешенной задачи механики
сплошной среды" (Трусделл) надеются достигнуть, постулируя достаточно
общие требования к математической структуре задания определяющего
уравнения, которые позволили бы отбраковывать или признавать приемлемым
предложенный вариант. Об этом см. §§ 9-13.
§23
тело сетха. тело синьоринй
151
§ 2. Тело Сетха. Тело Синьорини
Казалось бы, что очевидной и простейшей попыткой описать поведение
материала при больших деформациях может служить предложенная Сетхом
(Seth, 1935) замена в законе Гука линейной теории линейного тензора
деформации е тензором конечной реформации, например, тензором (1.7.8)
Альманзи А или соответствующей ему мерой g
Т = Я,Е/Х (А) + 2рА = 1 (ЗА, + 2р) Е - 4 (XI г (g) Е + pg). (1)
Сравнение с (4.3.7) дает
[ЗА+гц-р/Ле)], = | / |р, ф; = о. (2)
Условия интегрируемости (4.3.6) не выполняются, "квазилинейный" закон (1)
непригоден для описания поведения гипер-упругого тела. Однако, как
показал Сетх, он позволяет учесть некоторые особенности нелинейной
теории, например, конечность силы, создающей разрыв образца (бесконечное
возрастание одного из главных удлинений), необходимость приложения
нормальных усилий для осуществления деформации простого сдвига. При малых
градиентах вектора перемещения количественные результаты не могут
значительно отличаться от предсказаний линейной теории, но квазилинейный
закон не налагает ограничений на перемещения и повороты, поэтому
допускает рассмотрение недоступных линейной теории явлений.
Синьорини (Signorini, 1943-48) предложил закон квадратичной зависимости
тензора напряжений Т от меры деформации Альманзи, согласованный со
структурой определяющего уравнения (4.3.7)
т = (т^г -f- пцГ* + та![ + m4) Е - (m-J[ + тв) g -f m,g2. (3)
Здесь Ik~lk(g). Постоянные mk определяются требованием существования
потенциала э, иначе говоря, их выбор подчинен условиям (4.3.8). Они
приводят к уравнениям
^77 = - 7 №т' = ~ 7 (/^"3/2
д/20/3 4 2
д^э 1 1
^7^ = -j[(m5-m7) /( + m6]^ --(/')-3/2 (2m27 + m3)
(третье тождественно выполняется). Получаем
т7 - 2т1, m5 = 2m1Jr4m2, тъ = 2т3.
Число коэффициентов уменьшено до четырех
т== + + т31[ + тА) Е-[(2m1+4m2) /;+2m3]g+2m1g2. (4)
152
УРАВНЕНИЯ СОСТОЯНИЯ НЕЛИНЕЙНОГО МАТЕРИАЛА
[ГЛ.
Выражение удельной потенциальной энергии приобретает вид
э--= (/J)-1/. (ш1/2 + т2/;2 + т3/; + т4) -f const.
В отсчетной конфигурации (g - Е, 1[~- /4 -_3, /3 ^ 1)
- рЕ, -р - тг - 3/n2 + т,3 + mi и формулы (4), (5) заменяются
представлениями
Т = [ р (/2 -J- 1) -\-mi (/х -у 3) -)- тя (/4 1)] Е
- [(2т1 + 4т2) 1[ 4-2m3]g + 2m4 э - (/з)"1/2 Иг (/; + 1) + тг (/[2 4 3) +
тя (/; - 1) - рJ •
(5)
(3)
(7)
Число постоянных снижается до трех, если неискаженное отсчетное состояние
-натуральное (р -0).
После перехода от меры к тензору деформации Альманзи А и его инвариантам,
обозначаемым jk~- Ik(A), и введения с целью приблизиться к обозначениям
линейной теории новых постоянных
4т1 = с, 4m2^-5-(^4-р --|-J , 4mi + 12т2 + 2тз "= В + j получаем по
(1.7.21)
+ с/г 4''о' ( ^ + В К ) /1
Е+2
р
А -У 2сА2
э- ]/-| [с/2 +у (я + р-у) /;24-
+ ( В + ¦9-) (1 /О
р
(9)
(10)
Отсчетная конфигурация (в ней А--0) - натуральная, а аддитивная
постоянная в (10) выбрана так, что в ней э- 0.
Закон Синьорини - общее и единственно правильное представление
соотношения, определяющего квадратичную зависимость компонент тензора
напряжений от компонент деформации в гп-перупругом изотропном теле. В
"упрощенном квазилинейно.! законе" Синьорини с--0
7-К + у (7- + р) ji Е + 2 [р - (К -f р) /;] А.
(11)
Вхождение подчеркнутых слагаемых, отличающих его от закона Сетха (1),
обеспечивает существование потенциала э. Его выражение, если вернуться к
инвариантам /*(g) меры Альманзи,
§21
ТЕЛО СЕТХА. ТЕЛО СИНЬОРИНИ 153
р упрощенном законе записывается в виде
8э У о" = 9А-|-5р - 2 (ЗА-f-p)/i-f-(А-)-р)/i -8р У 13 =
= 4 Р [(П + 3) п~ 18 Vn] + (9А + 5р) (41[ - 1 )\ (12)
Далее находятся достаточные условия положительности э. Величина в
квадратных скобках положительна. Действительно, можно усилить неравенство
/2
1'ъ - g,g"g* < зТ tel + g* + g3)3 --ff .
отбросив в его правой части
4г=Ш2 Vfin+zy-n'Vi-З)2]
отрицательное слагаемое. Поэтому
7з<27^т2/Г(/1 + 3)2, (71 + 3)/; -181/71 > О (13)
и пй (12) искомые условия приводятся к виду
Р>0, 9А-ф5р>0 (а>- у р) • (14)
Необходимость первого условия следует из (12) для деформации, в которой
7( = 3.
Область допустимых параметров А, р в линейно упругом теле
