Введение в теорию колебаний и волн. - Рабинович М.И.
Скачать (прямая ссылка):
принцип стационарности потенциальной энергии системы, как исходное
предпо-
СТАЦИОНАРНОСТЬ ДОПОЛНИТЕЛЬНОЙ РАБОТЫ
141
ложение механики упругого тела, можно вообще не упоминать о напряженном
состоянии, "не знать о его существовании".
Если массовые силы имеют потенциал, а поверхностные силы -"мертвые", то
функционалу IE, придается вид
(э + p0Jt) do - (13)
V 01
так как k-6R = - Vjt-6R =- 6л по (1.1.7) и по определению (III.2.1)
градиента скаляра.
Если еще в число внешних сил, распределенных по всей поверхности гтела,
включено и равномерное давление на ней р, то по (2.1.13)
^=Щ(э + р"я + р]/ l^-JjV.Rdb. (14)
V ох
§ 17. Принцип стационарности дополнительной работы
Этот принцип противопоставляется принципу стационарности потенциальной
энергии системы. Здесь речь идет об отборе из множества гстатически
возможных напряженных соостояний состояния,1гфактически реализуемого в
упругом теле, тогда как принцип стационарности потенциальной энергии не
содержит упоминаний о напряжениях, а выражает свойство истинного поля
перемещений.
Функционал, стационарность которого рассматривается, должен быть выражен
через тензор напряжений или его инварианты, если среда изотропна;
геометрические величины не должны в него входить. В линейной теории
упругости это не сопряжено с трудностями, так как выражение линейного
тензора деформации через тензор напряжений Т известно и это позволяет
сразу же получить представление удельной потенциальной энергии через
напряжения. В нелинейной теории эта процедура требует обращения уравнения
состояния материала; о практической неосуществимости такой операции в
общем случае (для любого материала) говорилось в § 14 и II, § 8. Но ход
вывода принципа стационарности дополнительной работы требует
предположения, что обращение осуществлено; принимается, что соотношение
Р - з0 =Р (vr) (1)
VR
О
разрешено относительно VR
VR = VR (Р), 3(vr)=5(P). (2)
142 ПОСТАНОВКИ ЗАДАЧ НЕЛИНЕЙНОЙ УПРУГОСТИ [ГЛ. *
Производящая функция преобразования Лежандра обратного (1), как известно,
определяется выражением
ex(P) = P--YRT(P)-s(vR(P)). (3)
Действительно, по (1)
0 0 Лз 0
6эх(Р) = 6Р--VRr(P) + P- -6VR(P)-------2L. • 6VRT =
dyR
= бР- • VRT (P) = VR (P) • • 6PT, (4)
так что no определению производной скаляра по тензорному аргументу
VR(P) = (9x)p, (5)
что и требуется; эх (Р) называется удельной дополнительной работой. Это
соотношение -аналог теоремы Кастильяно линейной теории упругости.
Далее рассматривается статически возможное напряженное состояние; в нем
тензор Пиола Р удовлетворяет уравнениям статики в объеме к и на той части
поверхности olt на которой задано мертвое поверхностное нагружение
о
в V. V-P-fp0k = 0; на ох: n-P = f°. (6)
Для статически возможных состояний, сравниваемых с реализуемым состоянием
равновесия, выполнены условия
о
в v\ V(P-f6P)-f p0k = 0; на ох: n-(P + 6P) = f°,
так как массовые и поверхностные силы на ох остаются неизменными. Итак,
в V. V - бР = 0; на п-бР = 0. (7)
Рассматривается функционал W2 над статически возможными тензорами Р,
называемый дополнительной работой
Г2= JJJsx (P)dv - R-f°do (8)
V 02
- здесь f° следует трактовать как реакции приспособлений, обеспечивающих
выполнение требуемого на о2 задания вектора места R.
j СТАЦИОНАРНОСТЬ ДОПОЛНИТЕЛЬНОЙ РАБОТЫ 143
Теперь, сославшись на определение (4) и учитывая, что на вектор R не
варьируется, имеем по (1)
6 y,=SS^Rt"6p'MSR'6f"'fc =
V °s
= Ш [v-(6P-R) - (v-бр)-r] dl" - J J R-6f(r)do =
V L o2
[v.6p).Rdt) + JJn-6P.R do "f- S5 (n-6P-6fe).Rdo. ф)
Но на o2
П-6Р-6Г (10)
и, сославшись на (7), приходим к принципу стационарности дополнительной
работы
6Г2 = 0, 1^2 = Ш [p..^RT-s(vR(P))]du-n PRdo (11)
V 02
- функционал W2 сохраняет стационарное значение на всех статически
возможных (удовлетворяющих условиям (6)) заданиях тензора Пиола.
Известно, что ротор градиента вектора - нулевой тензор. Поэтому, из
соотношения (5) имеем
V X VR = V х (эх)р = 0. (12)
Это-аналог уравнения совместности напряжений линейной теории-уравнений
Бельтрами -Мичелла. Известно, что принцип минимума дополнительной работы
в этой теории выделяет из множества статически возможных напряженных
состояний реализуемое состояние, допускающее определение вектора
перемещения. Естественно ожидать, что принципу стационарности
дополнительной работы в нелинейной теории отводится та же роль*).
Чтобы убедиться в этом, составим уравнение Эйлера для связанной задачи
вариационного исчисления о стационарности Функционала (11) при наличии
связей (7).
*) Заранее нет оснований считать, что функция vR (Р) аргумента Р,
фигурирующая в формулах (2) - (5), является градиентом, т. е.
удовлетворяет усло-
в(r)) 02). Символ VR(P) в этих формулах следует рассматривать просто как
обозначение тензорной функции аргумента Р. Если, однако, придать этому
имволу смысл градиента, как это сделано в (9), то получается принцип
допол-"р!ельн°й работы в форме (11). Доказательство того, что указанный
