Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Рабинович М.И. -> "Введение в теорию колебаний и волн." -> 231

Введение в теорию колебаний и волн. - Рабинович М.И.

Рабинович М.И. Введение в теорию колебаний и волн. — НИЦ, 2000. — 564 c.
Скачать (прямая ссылка): vvedenievteoriuvoln2000.djvu
Предыдущая << 1 .. 225 226 227 228 229 230 < 231 > 232 233 234 235 236 237 .. 942 >> Следующая

материалу физических свойствах. Но нет и бесспорных оснований исключать
такую возможность, например, при достаточно больших деформациях. Сильная
эллиптичность -дополнительное, более ограничивающее требование. Далее мы
увидим, что оно соответствует некоторым априорно предполагаемым свойствам
упругой среды, непосредственно не следующим из ее определения как
простого материала, лишенного памяти и наделенного свойством
аккумулировать работу внешних сил. Сильная эллиптичность -свойство
материала, определяемое заданием удельной потенциальной энергии
деформации,
128 ПОСТАНОВКИ ЗАДАЧ НЕЛИНЕЙНОЙ УПРУГОСТИ 1ГЛ. 4
При заданной энергии сильная эллиптичность может иметь место
о
для определенных множеств значений VR и отсутствовать для других множеств
этих значений.
Матрица детерминанта (4) далее преобразуется в случае изотропного
материала заменой в ней Р0 тензором упругостей TF
VR
по формуле (9.12). При этой подстановке два первых слагаемых в (9.12)
выпадают
г?п- Р Vrc r,n rqn--PR"-!-,/!*,, r9n- • rmPTRm• • r,n = Пяг9-PT¦ nR(r) • r,
-г"п¦ • PR" ¦ rsnm, как и требуется. Приходим к рассмотрению матрицы
1/7^г,п-• Yrr-TF-•(R,r/, + r/,R()r^.-г^п-= ^
-У 7^r"n- Vrr- -TF • • (vRr-nr,yr,VRr.n),
преобразуемой к виду
г, • [/7> • VrT ¦ (TF + TF . . Сп) • VR t. n] . r, = r? • Q ¦ r" (9)
причем Tf--Cjj - тензор TF, в котором третий и четвертый индексы
переставлены местами
TF. -Cn -T^yR,R,Rt. •C1I^x^R/?R9RiR(. (10)
Итак, система уравнений равновесия эллиптична при условии
del Q =/= 0, Q - УТ3 n- VrT- (TF -j- TF • -Сп) • VRT -n (11)
- должен быть отличен от нуля детерминант ковариантных компонент Q (его
знак по (1.5.1) не отличается от знака detQ).
Предпочтительно заменить вектор нормали п к поверхности в отсчетной
конфигурации вектором N - в актуальной. По (1.8.8)
n VrT = (n G-1-n),/2 N, VRr-n-= (n-G_1-n)'^ F- N. (12)
Отбросив несущественную для знака Q положительную квадратичную форму j/73
(п• G-1 • п)'^, придем к представлению в актуальной конфигурации
Q = N• (TF + TF • -С,,)• F• N. (13)
Заменив в (13) TF его выражением (7.9), придем к развернутому
представлению тензора Q
а = (Чо-у Yo)nN+HuN • FF • N+aMN • F2F2- N +
+ft01(NF-N hNN-FN)-bH02(N-F2N + NF2-N) +
+ {112(N-FF2-N +N•F2F•N) +
-Ьy (tiE + t,F) N-F-N + y^(N-FF-N+EN-F2F-N). (14)
§121 АКУСТИЧЕСКИЙ ТЕНЗОР УПРУГОЙ СРЕДЫ 129
Тензор Q, как видно из этого представления, симметричен. Его собственные
числа пропорциональны квадратам скоростей распространения в
предварительно напряженной упругой среде плоских волн в направлении N
(когда преобразование отсчетной конфигурации в актуальную аффинно). Это
дает основание назвать Q акустическим тензором [см. гл. 8, § 7]. Скорости
вещественны, если система - сильно эллиптическая.
§ 12. Акустический тензор упругой среды
Для линейно упругой среды по (7.2), (7.11) - (7.13)
(Тг)°- |[р(Сп + Сш) + ХЕЕ]==|те, (TF + TF • • С,,)0 - Те
и F = E в формуле (11.13). Представление акустического тензора приводится
к виду
Q = N • Те • N -= (к + р) N N + PEN • N = (к + 2ц) N N [- р (t^ + tgta),
(1)
так как
N • Сп • N ¦= NsRtRsNf -= NN, N-Сш • N = NSENS = EN • N,
а единичный тензор Е представйм в ортонормированном триэдре N, tj, t2
выражением
Е - NN + tjtj -f- t2t2.
Матрица тензора Q диагональна и ее детерминант равен
detQ = р2 (Я,-|-2р). (2)
Уравнения равновесия линейной теории эллиптичны при условиях
|х О, + 2р Ф 0. (3)
Они строго эллиптичны при соблюдении критериев Сильвестра, сводящихся в
этом случае к неравенствам
Р > 0, А + 2р^=2р^?^ > 0 -> - оо < v < ~ . (4)
Собственные числа тензора Q равны &1 = Я, + 2р, k2 = k., ^=р и условиями
строгой эллиптичности (4) гарантируется существование волн растяжения и
волн сдвига (со скоростями У (к f2p)/p, Кр/р) в линейно упругой среде.
Известно, что необходимыми и достаточными условиями положительности
удельной потенциальной энергии деформации линейно упругого тела являются
неравенства
!*;> 0, зь+гр-гр^х) - -1 <v<|. (б)
5 А. И. Лурье
130
ПОСТАНОВКИ ЗАДАЧ НЕЛИНЕЙНОЙ УПРУГОСТИ
[ГЛ. 4
Выполнение этих требований гарантирует сильную эллиптичность, обратное
утверждение не имеет места; например, при К <-2р/3, 3^ + 2р<0, но А,-(-
2р>0.
Рассмотрение нелинейно упругой среды, разумеется, значительно сложнее.
Представив тензор упругостей его компонентным выражением (8.2), имеем по
(11.13)
Q = NSNqVq (тstPQ -f- xstw) tttp, Q*P = NSNqv2q (-xstPQ + тbt4P).
(7)
причем учтено правило переставимости индексов (8.8). Обратившись к (8.9),
(8.10), приходим к выражениям
и несложно проверить, что Q12 = QSl - акустический тензор симметричен.
Действительно, по (3.12), (3.16)
Конечно, остальные компоненты Q получаются круговой перестановкой
индексов в (9) и (10).
Структура det Q, как видно из полученных выражений компонент Qmn,
достаточно сложна и получить из его рассмотрения отчетливые суждения о
сильно эллиптическом материале вряд ли возможно.
Ограничимся рассмотрением случая вектора нормали, направленного по одной
Предыдущая << 1 .. 225 226 227 228 229 230 < 231 > 232 233 234 235 236 237 .. 942 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed