Введение в теорию колебаний и волн. - Рабинович М.И.
Скачать (прямая ссылка):
выпадают. Действительно, сославшись на (1.19.17), получаем
г к. pVrT • • VRT • Ат • rft = Рг • r*VrT • • VRT • =
= Pr-rkAqqk-= Рт-VIn ]/~ ,
О о
vk. г^г*. pr^. VrT • • VRT • Ат • rk ~ Рг • • vqrsAqst =
= PT-rM''s = PT-Vln yf~ ,
что и требуется. Теперь, используя также (1.19.12), (1.19.13) и (9.11),
имеем
г*-Р0 • • VRT- AT-rfe -- |/ 4 Rft-TF--(RA, + r,Rt)rV--RmrM^-VR
= У |-RA-TF--(vRT.r?Rm + Rmr"-VR)л(tm)* =
= У- R*-Tr -/vRt -+ -^4-VrY
г 8 \ dqk dqk )
Уравнению движения изотропного упругого тела теперь придается вид
+ Рк = рЬ. (5)
dqk
К этому же уравнению можно было прийти, основываясь на уравнениях
движения, составляемых по тензору Коши Т. Действительно, по (1.19.19),
(1.19.12) и (1.9.8)
V.T=R*.|E = R*.^..V-AT|r^
= R'^Tf • -Сп• • Fg -R"гМ"*-VR
/ о о \ д?
= R*-TF-4R"r"-VR + VR-.r"RB,>)^ = R*.TF--^-.
как и требуется.
Заменив теперь тензор упругостей компонентным представлением
TF=T?rRftR"R'R* (6)
dF
и используя только что приведенное представление - , получим
dqk
уравнение движения в компонентной записи
bkst"gqtAsqk-\-pkn=pbn (м= 1,2,3). (7)
§10]
Уравнения движения и равновесия
125
Выражение через вектор перемещения можно получить, выполнив
преобразования
о
R* = rft + RtV*U', |jr= {/ }rf + RtV9V^,
позволяющие представить Asqk в виде
ООО
¦"* -\фГ\ф) - Rs w-- { ф I=-{*',} v<"'-
После подстановки в (7) приходим к уравнениям
(т*Г+т?Г)^'
\Vrus
\kq)
(8)
Еще одну форму уравнений движения изотропной упругой среды получим,
заменив в них тензор напряжений Коши представлением (3.4) через меру
деформации Фингера
V- Т -f-pk = V-2 -Ц- (ф0Е -ЬфтЕ +ф2р2) "Ьpk = pb
или в развернутой форме
T-Vln/f + 2 /•§¦
По (1.19.22) и (1.3.10)
1
X Fr - Vi|jr -[- • F H- t2V.F2
Г =0
+ pk = pb.
S - 1
s =1
2Vr- (ftirG -t-H3rG2 -f Э огЕ) • • AT = 2 ? VRt-• AT.
N = 0
Использовав еще формулы (1.19.20), (1.19.21) и исключив Т по
(3.4), приходим к уравнению
2 2
2? X^rPrF^.VR^.A'-toVln У~ +
Г = 0 Л' = 0
(фхЕ + ф2Р) • VRT- ^ Ат- -е) + i|)2F--(At-F + F-At)
+ -к- p0k - 7) Р0Ь.
126
ПОСТАНОВКИ ЗАДАЧ НЕЛИНЕЙНОЙ УПРУГОСТИ
1.ГЛ. 4
§ 11. Эллиптичность уравнений равновесия
Здесь и далее рассматриваются уравнения равновесия - в уравнениях § 10
отсутствует вектор ускорения Ь.
Следуя III, § 11, рассмотрим в отсчетной неискаженной и-конфигурации
упругой среды произвольно выбираемую гладкую поверхность dТ. Гауссовы
координаты на ней обозначаются иа (а=1, 2), а отсчитываемая по нормали п
к поверхности координата-через qs - материальные координаты частицы в
объеме v.
Предполагается, что заданная в v функция cp (q1, q2, g3) дважды
непрерывно дифференцируема по координатам иа на поверхно-
св -
сти dr, а определенная на ней нормальная производная также непрерывно
дифференцируема по иа-в обозначениях (III.11.21)
<Э2ф
duadt
1=о
= 0.
По (III. 11.26) разрыв на оТ второй производной по ? определяется при
этих условиях выражением
52ф
а:2
?=о
n-[wcp]
С=о-п.
В другой записи
Г00 1 Г 0 0 "I
LWcpJ?=0 = rV LVftVtvJ;=o= nn
д2ф
1=0
и в компонентном представлении
[vftv(qA =
а2ф
? = о
(1)
(2)
причем пк - ковариантные компоненты п в базисе хк. Формула (2) определяет
"слабые" разрывы ср на - разрывы ее вторых производных.
В применении к функциям %•* в уравнениях равновесия (10.3) соотношение
(2) позволяет составить три однородных линейных уравнения
дЧ.
¦У*" Р0 •
VR
•пгЧ^
дЧ-
=2 0 (9= 1,2,3)
(3)
для неизвестных разрывов вторых производных у/ по ?.
Следуя Ноулсу и Стернбергу *) (J. К. Knowles, Е. Sternberg, 1975) назовем
систему уравнений равновесия (10.3) эллиптической, если в отсчетной и-
конфигурации не существует поверхно-
*) См. также Смирнов В. 1951, Т. IV, § 161.
И. Курс высшей математики.- М.: Наука,
ЭЛЛИПТИЧНОСТЬ УРАВНЕНИЙ РАВНОВЕСИЯ
127
стей слабого разрыва функций у/ -уравнения (3) допускают только
тривиальные (нулевые) решения, детерминант матрицы их коэффициентов
отличен от нуля
det||ren--P0 • -г5п 1=И=0. (4)
Vr
Этой 3x3 матрице, как всякой другой, может быть сопоставлена квадратичная
форма трех переменных т* - компонент единичного вектора m в г^-базисе
щчг7п--Р0 • -ш^г^п = mn- -Р0 • шп. (5)
VR VR
Система уравнений равновесия называется сильно эллиптической, если эта
квадратичная форма положительно определенная
тпп• -Р0 • - mn > 0 (6)
VR
для любой диады mn единичных векторов. Для сильно эллиптической системы
детерминант (4) не только отличен от нуля, но и должен удовлетворять всем
условиям теоремы Сильвестра. Разумеется, сильно эллиптическая система -
заведомо эллиптическая.
В применении к уравнениям равновесия, записанным в форме
(10.4), требование сильной эллиптичности равнозначно условиям
"сильвестровости" при любых пк матрицы
д2э
о -n*nt
(7)
эквивалентным неравенству
дЪ
Пкп^тЧ >0. (8)
о о дуг Is ду/ч
Отсутствие эллиптичности подразумевало бы возможность разрывов на
некоторых поверхностях гладкости решений уравнений равновесия упругого
тела. Это трудно примирить с представлениями о приписываемых упругому
