Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Рабинович М.И. -> "Введение в теорию колебаний и волн." -> 23

Введение в теорию колебаний и волн. - Рабинович М.И.

Рабинович М.И. Введение в теорию колебаний и волн. — НИЦ, 2000. — 564 c.
Скачать (прямая ссылка): vvedenievteoriuvoln2000.djvu
Предыдущая << 1 .. 17 18 19 20 21 22 < 23 > 24 25 26 27 28 29 .. 942 >> Следующая

же может быть достаточно глубоко скрыт в динамике системы, так что
обнаружить его не так-то легко. Изолирующие интегралы связаны с
симметриями динамической системы. Эти симметрии могут оказаться
очевидными, и тогда необходимое преобразование переменных, обеспечивающее
решение в квадратурах, определяется непосредственно. Это справедливо,
например, для частицы в поле центральных сил (см. ниже). Когда
присутствие симметрии в системе не очевидно, как, например, в случае
рассматриваемой ниже цепочки Тоды, найти изолирующий интеграл не просто.
В настоящее время не существует какого-либо метода, позволяющего
определить все изолирующие интегралы произвольной гамильтоновой системы
или хотя бы установить их полное число. Поэтому не существует и никакого
общего способа проверки на интегрируемость (N изолирующих интегралов) для
системы с N степенями свободы. Если в системе нет очевидной симметрии, то
догадаться о существовании скрытого изолирующего интеграла и обнаружить
его часто удается лишь при помощи численных экспериментов.
Центральные силы. Проиллюстрируем нахождение изолирующего интеграла
(помимо полной энергии) и сведение решения к квадратурам на простом
примере движения частицы в поле центральных сил. Хорошо известно, что эта
задача интегрируема. Без потери общности задача сводится к двумерному
движению в плоскости, определяемой начальной скоростью частицы и
положением силового центра. Третья степень свободы тривиально отделяется
при помощи изолирующего интеграла рг = 0. В полярных координатах
48
Глава 1
(г, 0) гамильтониан имеет вид
я= -~г) + иМ' (L3-39)
где рг - тг, рд - mr-Q, т - масса частицы, U - потенциал центральной силы
(F ~ - dU/dr). Поскольку система консервативна, то ее гамильтониан Н = Е
сохраняется. Уравнения движения в форме (1.3.38) имеют вид
^ dQ dr
дЩдръ дН!дрг
Рис. 1.5. Движение в центральном поле.
а - эффективный одномерный потенциал; б - фазовые траектории.
Вычисляя частные производные и исключая рг при помощи гамильтониана,
получаем
=-------------------------dr------------------------_ (1.3.40)
Pftlmr2 [2т(Е - U (г)) - pg/r2]/т
Эти уравнения нельзя решить, пока неизвестна зависимость р0 от 0 и г.
Именно отсюда видно существенное значение второго интеграла движения. В
данном случае таким интегралом движения является рв. Это следует из того,
что сила dpQldt отсутствует и гамильтониан не зависит от 0. Отсюда
р0 = / = const. (1.3.41)
Подставляя это выражение во второе уравнение (1.3.40), сводим к
квадратурам сначала решение для г (t), а затем и для 0 (/). Это можно
увидеть и прямо из (1.3.39), вводя эффективный потенциал U (г) ---
l2,2mr- - U (г). Оба слагаемых потенциала и их сумма,
Общий обзор и основные представления
49
или эффективный потенциал, показаны на рис. 1.5, a U (г) = = - k!r15 при
2<р<;0; задача Кеплера соответствует р = 1. Указаны также три значения
полной энергии системы Eb, Es и Еи, соответствующие финитному,
сепаратрисному и инфинитному движениям. Фазовые кривые представлены на
рис. 1.5, б. Движение здесь аналогично случаю одной степени свободы (рис.
1.4), за исключением того, что сепаратриса теперь замыкается на
бесконечности.
Финитное движение на плоскости (г, 0), ограниченное окружностями радиуса
гг и г2, показано на рис. 1.6 для Р Ф 1. Пространственная траектория не
замкнута, так как отношение периодов по г и 0 не равно целому числу1).
Это - пример квазипериодического движения. Тем не менее пересечения
траекторий с плоскостью 0 = const образуют в этом случае замкнутую кривую
в координатах г, рг вследствие существования двух изолирующих интегралов
рв - = / и Н = Е. Для р =1 (задача Кеплера) частоты движения по г и 0
одинаковы и траектория образует замкнутую кривую (эллипс) в плоскости (г,
0).
Э Точнее, рациональному числу.- Прим. ред.
50
Глава 1
Рассмотрим теперь преобразование к переменным действие - угол. Подставляя
производящую функцию в (1.3.39), получаем уравнение Гамильтона-Якоби
(1.2.15) в виде

/ dSr у 1 I dSe у
\ дг )' г* \ д& )
U (r)= Е, (1.3.42)
где мы использовали преобразование pi = dSldqi и учли, что переменные
разделяются. После умножения на 2тг'1 гамильтониан принимает вид
(1.2.50):
1 ^ dSr \2
30

дг
U (г)
1\ (1.3.43)
и мы снова приходим к сохранению момента импульса. Это, конечно, прямо
следует из того, что 0 является циклической переменной, т. е.
гамильтониан от нее не зависит. Второе уравнение в (1.3.43) дает
dSr
дг
Запишем переменные действия в виде 2л J е = (j}p0d0= ф
г"
2 nJr = Л) prdr =
dSe
36
dSr
дг
-de,
dr.
(1.3.44)
(1.3.45)
(1.3.46)
Подставляя (1.3.43) и (1.3.44) в (1.3.45) и (1.3.46), соответственно
получаем

/я = -!- J Ш =/, (1.3.47)
Jr
1

2я о ¦J[2 m{E-U(r)y
_Р_
Г2
1 2
dr.
(1.3.48)
Пусть, например, U (г) =
§9.7) дает
2 \ -Е
Отсюда новый гамильтониан
Я = ? = -
- klr. Простое интегрирование ([156],
k / 2т \ С'2
= const.
mk2
2 (Jr + 70)2
(1.3.49)
(1.3.50)
где мы заменили I на /е. Заметим, что переменные действия входят только в
Предыдущая << 1 .. 17 18 19 20 21 22 < 23 > 24 25 26 27 28 29 .. 942 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed