Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Рабинович М.И. -> "Введение в теорию колебаний и волн." -> 227

Введение в теорию колебаний и волн. - Рабинович М.И.

Рабинович М.И. Введение в теорию колебаний и волн. — НИЦ, 2000. — 564 c.
Скачать (прямая ссылка): vvedenievteoriuvoln2000.djvu
Предыдущая << 1 .. 221 222 223 224 225 226 < 227 > 228 229 230 231 232 233 .. 942 >> Следующая

f (q1, q\ q3) ~ от (q1, q\ q3), rs = ars. (1)
Элементарные объемы в о и v конфигурациях равны
dv = rx- (г2хг3)dq1 dq2dq3,
dv = гх-(r2xr^)dq1 dq2dq3, dv--=a3dv. (2)
Поэтому
fi = =1 Г2ХГ3 a_lrl p2z_a_lr2 r3 = a^r3. /34
rr(r2Xr2) a гг(г2Хгз)
Вектор места- в актуальной конфигурации R, конечно, один и тот же.
Поэтому
VR = riRi = a-1VR, G =a_2G, F=a-2F (4)
и связи между инвариантами определяются формулами
7l(F)-a-2/1(F), 7, (F) - a~iI2 (F), 73 (F) - а~Ч3 (F). (5)
Потенциальная энергия деформации в актуальной конфигурации одна и та же в
преобразованиях v-v-
72> h)dv^ SSS h)dv =
J SS 3 (a~2/j, a-4/2, a-e/3) a3 dv
и, поскольку объем и -произвольный,
9(/lt /2, /3)-=а3э(a-2/i, а_4/2, а~6/3). (6)
1
112 ПОСТАНОВКИ ЗАДАЧ НЕЛИНЕЙНОЙ УПРУГОСТИ 1ГЛ. 4
!
Поэтому
дэ , дэ дэ дэ , дэ дэ , дэ
-аТ- - а эГ СС -, --j- =- а-1 -, -д-Г--= а- -т^-
^ a/j dl2 dh dl3
и no (3.5)
Фо -¦= "3Фо> ФТ ^ "Ф1, Ф2 -=• а_1% • (7)
Теперь уравнение состояния (3.4) в отсчетной и-конфигура-
ции, записываемое в виде
Т - 2/^1/2 (ф0Е -HqF + ^2F2), преобразуется к виду
Т = 2а (а~3ф0Е + -(-аф2а-4Р2)
и как следовало ожидать
f = 2/3-1/2 (ф.Е + 1P1F + Ф2Р2) = Т. (8)
Тензор напряжений в актуальной конфигурации независим от выбора отсчетной
неискаженной конфигурации.
§ 5. Варьирование напряженного состояния
Предполагается, что на актуальную конфигурацию среды наложено поле
виртуальных перемещений qw (q1, q2, q3), q - малый параметр. Тензор
напряжений Коши, если ограничиться линейными по q слагаемыми, станет
равным
Тх = Т + qT, t = lim -(Тх-Т). (1)
11-"0 1
По определению в гл. 1, § 10 тензор Т представляет конвективную
производную Т, не отличающуюся от его материальной производной, поскольку
Т явно не зависит от времени (q отождествляется с Ы).
Основываясь на представлении (3.4) и формулах в гл. 1,
§ 10 имеем
f ~ TV • w + 2 [TyF -ффг (F • F ф- F • F) -f- (Еф0 -f Fi|q -f Faip2)]
(2)
§ 5] ВАРЬИРОВАНИЕ НАПРЯЖЕННОГО СОСТОЯНИЯ ИЗ
и по (1.10.11)
2 |/ f [^F + tMF-F + F-F)]^ у [фх (F • Vw + VwT • F) +
+ i|)2F ¦ (F • Vw + VwT- F) -f ф2 (F • Vw + YwT- F) -F] =--=
•¦= 2 У -Ц- [(""('iF + ф2Р2) • Vw ф- VwT- (ipjF + r)J2F2) +
+ if2F -(Vw-f VwT)-F],
Это выражение по (3.4), если ввести в рассмотрение линейный тензор
деформации e(w), приводится к виду
T-Vw + VwT-T -4 У [ф0е (w) - i|r,F е (w) -F], (3)
Переходим к вычислению фг (Г -0, 1, 2). По (II.3.3) и (1.10.15)-(1.10.17)
получаем
; аФг / . аФг j , аФг f ~ <5/, 7l+ д1г 2+ dl3 /з ^
аФг с , аФг п С2, , аФг
dh 1 д/г
(/!F-F2)+^/3E
•e(w),
или
2
Фг = 2 (йог-Т + ftirF + -fl2rF2) ¦ • 8 (w) - 2 2 KvrFjV--e(w) (4)
N = 0
(суммирование по значениям N - 0, 1, 2, F° E). Коэффициенты Фаг
определяются "по формулам
афг дфг Зфг Эфг
Фог-/3-^, Флг =~р7Г 1Т77" ' г,2Г" -^77 (Ь)
и структура зависимости Фаг от фг та же, что фг от э; по формулам (3,5)
Фат выражаются через вторые производные э по инвариантам. При этом
обнаруживается симметричность этих коэффициентов по индексам N, Г
Фл/г = Фгл/, 7V, Г -0, 1, 2. (6)
После подстановки в (2) приходим к представлению Т
Т = - TV.w + VwT-T + T-Vw + 4 |/-|у[-ф"е(№) + ^2F-e(w)• F]+
+ SSWrF*--e(w). (7)
Г N
114 ПОСТАНОВКИ ЗАДАЧ НЕЛИНЕЙНОЙ УПРУГОСТИ [ГЛ. 4
Очевидно, что тензор Т симметричен. Окажется далее целесообразным ввести
в рассмотрение тензор
В Т ¦ Vw + 4 ]/ у [- Фое (w) + i^F ¦ е (w) • F] +
+ 22^rFrF'v--e(w), (8)
Г N
так что
ITV.w + VwT-T + 0. (9)
Конвективная производная тензора Пиола вычисляется те-
перь по (2.6.2) и (1.10.8)
Р-( ]/ у VH-t)' = ( уГ-|)'vrT-T+ У | (VrT)--T +
+ |/у VrT Т = У у VrT- (TV • w - VwT- T-f Т)
и no (9)
P=]/- VrT-B. (10)
Оказалось, что P связан с тензором 0 тем же соотношением, что и Р с Т.
§ 6. Уравнения равновесия в варьированном напряженном состоянии
Основываясь на уравнении статики (2.6.4) для тензора Пиола, мы избегнем
затруднений, связанных с варьированием базиса актуальной конфигурации.
Имеем
V- (Р + цР) + р0к + "ПРо^х = 0> V - Р p0k -j- т) (V - Р -f- р0кх) = 0.
Через кх обозначена вариация массовой силы. Считая актуальную
конфигурацию равновесной, приходим к уравнению равновесия в варьированном
состоянии
V • Р + р0кх = 0 (1)
в векторном базисе отсчетной конфигурации. По (5.10) оно преобразуется в
базис актуальной конфигурации на основании (II 1.3.11) и тождества Пиола
g6] УРАВНЕНИЯ РАВНОВЕСИЯ 115
Уравнение равновесия в варьированном состоянии, если учесть также
(2.1.2), приводится к виду
V.0 + pkx=O. (2)
На поверхности варьированного объема по (2.6.5)
dO , ( dO
n-(P + T|P)-f -55- + -П (-55-) + (3)
)
dO
do
причем fx-вариация поверхностной силы. По (1.10.23) получаем
dO do
n • Р = [f (V • w - N • е (w) • N) + fx]
и no (5.10)
N-e-=f(V-w -N-e(w)-N) + fx. (4)
Роль тензора напряжений T в варьированном состоянии отходит к тензору 0.
Через этот тензор выражаются уравнения статики в объеме и на поверхности.
Конечно, напряженное состояние в актуальной конфигурации должно быть
наперед известно. Краевая задача (2), (4) линейна относительно вектора w.
Предыдущая << 1 .. 221 222 223 224 225 226 < 227 > 228 229 230 231 232 233 .. 942 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed