Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Рабинович М.И. -> "Введение в теорию колебаний и волн." -> 22

Введение в теорию колебаний и волн. - Рабинович М.И.

Рабинович М.И. Введение в теорию колебаний и волн. — НИЦ, 2000. — 564 c.
Скачать (прямая ссылка): vvedenievteoriuvoln2000.djvu
Предыдущая << 1 .. 16 17 18 19 20 21 < 22 > 23 24 25 26 27 28 .. 942 >> Следующая

каждого из независимых решений можно написать преобразование от
начального момента времени t - О к любому другому моменту времени в виде
xi (0 - tnxixx (0) т12хх (0),
хг {t)=m2Xxx (0) + ти xi (6),
где коэффициенты /и,* зависят от времени, но не от начальных условий. Из
(1.3.29) вытекает, что детерминант матрицы
Wl\2
Ш21 /^22
*) Функция / (0 может характеризовать также изменение параметров системы,
например массы.- Прим. ред.
det М =
1.
(1.3.30)
Общий обзор и основные представления
45
Этот результат получается, если записать матрицу преобразования двух
решений в виде
( *i (0 х2 (0 \ /' mn т12 \ ( хх (0) х2 (0)
V хх (t) х2 (t) / ' ///"л tn22 I у хх (0) -С2 (0)
Вычисляя детерминант в обеих частях равенства и используя тот факт, что
детерминант произведения матриц равен произведению их детерминантов,
получим преобразование для вронскиана
W(t) = W( 0) detM.
Поскольку W (t) = W (0), то det М = 1 , что эквивалентно условию
сохранения площади. В дальнейшем мы будем рассматривать только такие
консервативные *) системы.
Периодические коэффициенты. Если g (i) имеет период т, то (1.3.27) имеет
два независимых решения вида
x(t) = w(t) exp [гф (/)], (1.3.31)
где w (t) - периодическая функция времени
w(t) = w (t -[- т).
При этом
ехр {Дф (/ + т) - ф(0]) =ехр (io),
где а не зависит от времени. Поэтому ф тоже периодическая функция
времени. Уравнение (1.3.31) представляет собой общее решение Флоке для
линейного уравнения с периодическими коэффициентами. Дифференцируя
(1.3.31) два раза, подставляя результат в (1.3.27) и сокращая ^, получаем
для действительной и мнимой частей:
w-w^>2jrg(t)w - 0, (1.3.32а)
2ауф ф- оф = 0. (1.3.326)
Перепишем второе уравнение в виде
2w ф
. ' =°-Ф
*) Имеется в виду сохранение не энергии, а площади на фазовой плоскости
системы (х, х). Заметим, что последнее сразу следует из того, что при f =
0 рассматриваемая система является гамильтоновой (1.3.28) в переменных х,
х.- Прим. ред.
4G
Глава 1
или, после интегрирования,
(1-3.33)1)
wz
Подставляя это соотношение в (1.3.31) и переходя к действительным
функциям, находим
х(/) = ш(1)созф(/), (1.3.34)
t
где ф = 1 dt w~. Используя соотношение с
cos2 op -|- sin2 = 1 (1.3.35)
и выражая sin ф и cos фс помощью (1.3.34), получаем инвариант
2)
/ (х, х, t) = [w~2x2 - (wx-wx)2]. (1.3.36)
Хотя явный вид функции w (/) в общем случае неизвестен, но из
существования решения следует, что для гамильтониана (1.3.28) всегда
существует инвариант I. Подставляя (1.3.33) в (1.3.32а), получаем
уравнение для w.
w + g(f)w - = 0. (1.3.37)
Решение этого уравнения не проще, чем исходного (1.3.27). Однако
Левис [259] заметил, что любое решение (1.3.37) определяет через
соотношение (1.3.36) решение (1.3.27) для всех начальных условий.
Инвариант (1.3.36) полезен при изучении движения частиц в ускорителях с
жесткой фокусировкой [94], когда функция g (t) кусочно постоянна и можно
явно найти w (/). Точное решение известно также и в случае g (t) = а + 6
cos t, который приводит к уравнению Матье. Левис [259] показал, что для
произвольной функции инвариант (1.3.36) можно построить при помощи теории
возмущений.
Отметим, что проведенный выше анализ применим к линейным неавтономным
системам с одной степенью свободы, которые соответствуют некоторому
специальному классу гамильтонианов с двумя степенями свободы. Так как
неавтономные линейные системы второго порядка интегрируемы, то
неудивительно, что всегда можно найти соответствующий инвариант. Попытки
Саймона [397 ] и Левиса и Лича [260] обобщить эти методы на нелинейные
системы не привели пока к новым полезным результатам.
х) В общем случае (1.3.33) содержит произвольную постоянную: ф = = C/w2;
соответственно изменяются и (1.3.36), (1.3.37).- Прим. ред.
г) Этот инвариант, полученный впервые Курантом и Снайдером [94], имеет
простой физический смысл сохранения "энергии" в переменных: jc А'/ы; / ->
ф (подробности см., например, в работе [232]).- Прим. ред.
Общий обзор и основные представления
47
1.3в. Несколько степеней свободы
Для систем с несколькими степенями свободы соотношение (1.3.3) принимает
вид
d/=-*9l-=.-*91-= . . . -*1(1.3.38)
дН/dpi дН/др2 dHjdpN
Только в том случае, когда производная дН1др1 - / зависит лишь от qlt
первое уравнение решается в квадратурах. Аналогичное утверждение имеет
место и для последующих уравнений. В общем случае необходимо решать всю
систему дифференциальных уравнений совместно. Однако, если в дополнение к
гамильтониану имеются другие интегралы движения, тогда число совместно
решаемых уравнений может быть уменьшено на единицу для каждого
дополнительного изолирующего интеграла движения. Изолирующим является
такой интеграл, который в некоторых канонических переменных приводится к
уравнению: дН/dpi = / (qi). Преобразование к переменным действие - угол
удовлетворяет даже более жесткому условию dHidpt = const. Однако само
преобразование зависит от существования изолирующего интеграла. Последний
Предыдущая << 1 .. 16 17 18 19 20 21 < 22 > 23 24 25 26 27 28 .. 942 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed