Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Рабинович М.И. -> "Введение в теорию колебаний и волн." -> 219

Введение в теорию колебаний и волн. - Рабинович М.И.

Рабинович М.И. Введение в теорию колебаний и волн. — НИЦ, 2000. — 564 c.
Скачать (прямая ссылка): vvedenievteoriuvoln2000.djvu
Предыдущая << 1 .. 213 214 215 216 217 218 < 219 > 220 221 222 223 224 225 .. 942 >> Следующая

VR (Т) - г% (т) = г% (t) • VR (т) = VR (t) • VR (т)
градиенты места их полярными представлениями U (т) • Ох'(т) = 1Г(0 • 0х
(t) • U (т) • 0х (т),
U (т) = и|(0 -0х (0<1Г(т)-Ох|'(т).*Охт (т).
§3] УПРУГИЙ МАТЕРИАЛ 81
По (1.12.12)
0х (т) ---= R5 (t) Rs (т), Ох'г (т) ^ Rft (т) г*,
0х (т) ¦ Охт (т) = R" (t) rs =¦ 0х r (/),
откуда находим
U (т) = U (t) • 0х (/) • U (т) ¦ Охт (t). (3)
Теперь разбиению U (т) на два слагаемых (2) придается вид U (т) = U (t) +
U (t) • 0х (0 • (Ь (т) - е) -Охг (/),
Q (t, T) = U(f)-Ox(f)-(u(x)-E)-OXc(0. (4)
t
причем Q (t, t)^0, так как U (/) - E. Функционалу (1) придается вид
JT(U(T))=<r (U(/) + Q(/, т))=<^ (U (*))+?(*, т), (5)
причем
S(t, T)-cr(U(/)+Q (/, т)) - еГ (U (/)). (6)
Уравнение состояния представляется соотношением
Т (0 ^0^-?r(U(t))-0(t) + 0^(t)-S(t, т)-0 х(0, (7)
в котором первое слагаемое -функция (не функционал) тензора и (о в
актуальной конфигурации, второе - функционал над пред-дысторией движения
(функционал памяти). Его структура определена выражениями (6) и (4).
Далее на всем протяжении книги постулируется существование материалов,
подчиняющихся условию
W-т>0 <?(/, т) = 0, (8)
согласующемуся со следствием <§{t, t) = О из соотношений (4) и (6).
Этот постулат исключает из рассмотрения вязкие и упруговязкие материалы,
поведение которых нельзя описать, не учитывая его связи с протеканием во
времени предшествующего деформирования. Не требуется и знания
последовательности, в которой материал подвергался деформированию, -
исключено изучение пластичности. Речь идет только о материалах, полностью
лишенных "памяти", не возникает вопроса об их предыстории. Такими
свойствами наделяется упругий материал.
Далее рассматриваются две ситуации. Во-первых, речь может идти о
статических только процессах -нагруженное тело нахо-
88
УРАВНЕНИЯ СОСТОЯНИЯ
[ГЛ. 3
дилось и продолжает оставаться в покое, так что определяющие деформацию
величины вообще не зависят от времени, но зависят только от материальных
координат
U = U (q1, q2, доопределяющее уравнение простого'материала теперь
принимает вид
T = 0XT-Jr (U)-Ox. (9)
Во-вторых, можно ограничиться рассмотрением материалов с "мгновенно
исчезающей памятью". Тензор U (t) остается зависящим от времени, но
функционал памяти $ (t, т), равный, напоминаем, нулю при t = т,
пренебрежимо мал по сравнению с первым слагаемым в (5).
Тогда по (7)
Т(*) = Охт(г)-сГ(и(0)-Ох(г). (Ю)
Материалы с уравнением состояния (9), (10) называются упругими. Теория
упругости-часть механики сплошной среды, изучающая поведение этих
материалов. Речь идет о существенно различных материалах.
Результаты, основанные на рассмотрении уравнения состояния (9)
сохраняются для всех простых материалов. В статических условиях "теории
упругости" приписывается большая общность, чем указывается в наименовании
этого предмета.
Совершенно иначе приходится трактовать содержание уравнения состояния
(10). Здесь речь идет о весьма идеализированной модели материала,
немедленно и независимо от предшествующего состояния реагирующей на
деформирование в данный момент t. Изучение функционала памяти показывает,
что такая идеализация приемлема, как "нулевое приближение", при
достаточно медленно протекающих процессах деформирования; в следующем
приближении в рассмотрение должны быть включены скорости этих процессов.
Итак, простой материал "упруг", если напряженное состояние в нем в момент
t не зависит от предыстории деформирования, а определяется деформацией в
этот момент. "Упругий материал немедленно забывает", как протекало
деформирование.
Меры деформации определяются сравнением актуальной конфигурации с
отсчетной. Это дает повод к высказыванию, что упругий материал наделен
совершенной памятью об одной единственной конфигурации - отсчетной. С
таким воззрением нельзя согласиться, так как эту конфигурацию можно
назначить произвольно, ей, вообще говоря, нет нужды приписывать особые
физические свойства. Произвол выбора ее позволяет во многих
§4]
ГРУППА РАВНОПРАВНОСТИ МАТЕРИАЛА
89
случаях упростить уравнение состояния и это дает основание предпочесть
некоторую специально выбираемую отсчетную конфигурацию.
В записях (9) и (10) уравнения состояния упругого материала заменим
ортогональный тензор 0х его представлениями
0х -и-1-VR, 0Хг - VRT- U-1. (11)
Придем к соотношению
Т--= VR^U-^cT (U)-U-1- VR- VR* (r)(U) VR. (12) Здесь введено обозначение
Ф(и) = и-1-сГ (U)-U-1 = G-1/-Jr(G'/2).G-1/3 = (r)(G'/2). (13)
При новом обозначении
Ф (U) = Ф (G,/2) = Ч*' (G) (14)
уравнение состояния записывается еще в виде
T=VRt-V(G)-VR, (15)
а для тензора Пиола и энергетического тензора по (2.7.2) и (2.7. И) _
__
р= = j/J-?(G)-VR, (16)
т --Ф(и) = ? (G). (17)
Напомним еще, что по (2.5) записи выражения принципа мате-
риальной индифферентности для упругого материала можно придать вид
S (vr.o) = Ot-<f(vr).0, <#"( Vr) = О-еГ( VR • о) 0Т.
(18)
§ 4. Группа равноправности материала
Ограничения на зависимость уравнения состояния от градиента деформации,
Предыдущая << 1 .. 213 214 215 216 217 218 < 219 > 220 221 222 223 224 225 .. 942 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed