Введение в теорию колебаний и волн. - Рабинович М.И.
Скачать (прямая ссылка):
другое удлинение при той же гире, но скажет, что свойства пружины
остались неизменными, а изменение ее удлинения свидетельствует об
ускорении лифта, подсчитываемом по этому изменению. Точно так же, зная
удлинение вертикально подвешенной пружины, можно по его изменению
вычислить угловую скорость горизонтального вращающегося стола, на оси
вращения которого закреплен конец этой же пружины с той же гирей на
другом конце. В дифференциальном уравнении движения сохраняются
неизменными свойства материала пружины, задаваемые модулем Юнга и
плотностью.
84 УРАВНЕНИЯ СОСТОЯНИЯ [ГЛ. 3
Следствием (1.15.11), (2) и (4) является соотношение
(VR' (г; т)) = <Г (VR (г; т)-0 (т)) =От (/) & (VR (г; т)) -О (t). (5)
Воспользовавшись теперь полярным представлением градиента места (1.6.1)
VR (г, т) = U (г; т).Ох (т), (6)
в котором 0х - ортогональный тензор, сопровождающий деформацию, приходим
к равенству
(U (г; т)-0х (T).O(T)) = OT(0-^(VR(r, т))-0 (t), (7)
выполняющемуся для всех ортогональных тензоров О. Это позволяет принять
для всех t
0(t) = 0XT(t), 0r(t) = 0><(t) (8)
и преобразовать (7) к виду
Т (г; R(r, т)) =0Хт (t)'?T (U (г; т)).Ох(*). (9)
Этим доказывается фундаментальное свойство простых материалов- их
поведение определяется только предысторией тензора искажений U,
предыстория поворотов не оказывает влияния на тензор Т (г; t) "теперь".
Принцип материальной индифферентности дает средство распознавания
пригодности априорного задания тензора напряжений через задающие движения
среды величины. Приведем два примера.
Включив в состав функционала ?Г вектор места R (г; т)
<Г (г; t)=^ (R (г, т), VR(r;x)),
получили бы по (1.15.1) и (5)
cT(R'(r, т), VR' (г; т)) = От (R (г; т), VR (г; т))-0(f).
В частности, при поступательном движении штрихованной системы
О = От = Е, VR'=VR, R' = c+R
и предшествующее равенство привело бы к соотношению (R (г; т) + с(т),
VR(r, т)) -?Г (R (г, т), VR(r, т)),
которому нельзя удовлетворить при произвольном с(т). Уравнение состояния
материала не может зависеть от места R ча-
§2] ПРИНЦИП МАТЕРИАЛЬНОЙ ИНДИФФЕРЕНТНОСТИ 85
стицы среды, как уже говорилось выше. Здесь этот очевидный факт
представлен, как следствие принципа материальной индифферентности.
Более содержателен второй пример. Для описания движения жидкости
предложено уравнение состояния
Т = Н (v, D, W, р) (10)
- тензор напряжений представлен функцией вектора скорости v, его тензора
деформации D, тензора вихря W, плотности р. Принцип материальной
индифферентности здесь представляется соотношением
T' = H(v', D', W', p') = 0T H(v, D, W, p) 0
и по (1.15.6), (1.15.10), (1.15.7)
H (c+Or v + 0T R, 0T D O, 0T W 0 + 0T 0, p) =
= 0T-H (v, D, W, p)-0. (11)
При поступательном движении штрихованной системы получили бы
0 = Е, 0 = 0, H(c + v, D, W, p) = H(v, D, W, p),
откуда следует, как можно было заранее предвидеть, что вектор скорости не
может быть включен в представление (10). Приняв теперь
Т = Н (D, W, р), Т' = Н(От D O, 0T W 0 + бт 0, р)
и, рассматривая мгновенно-вращательное движение, имеем
0 = Е, 0=^0, Н (D, W + 0T, р) = Н (D, W, р),
так что исключается возможность вхождения аргумента W в состав Н.
Принцип материальной индифферентности допускает представление
Т= Н (D, р), Т' = Н (0TDO, p) = 0T-H(D, р)-0. (12)
По (11.7.1) симметричная тензорная функция Т над симметричным тензором D
изотропна и'^по|(П.7.7) представима квадратичным трехчленом
T = <p0E + cp1D + cp2D2 (13)
с коэффициентами ф, зависящими от инвариантов D и от р. Допуская,
властности, только линейную зависимость^ D, следует принять
Фо = - P(p) + ^(p)/i(D)= - р(р) + 1(р) V-у, фх - 2р (р), Ф2 = 0,
g0 УРАВНЕНИЯ СОСТОЯНИЯ [ГЛ. 3
приходим к уравнению состояния классической жидкости Навье- Стокса
Т = [- Р (р) + Мр) V-v]E + 2p (р) D.'l (14)
Для несжимаемой жидкости
р = р0 = const, V-v = 0, Т = - /?E + 2p,D, (15)
но давление р отнюдь нельзя считать постоянным. Оно определяется из
уравнения движения, рассматриваемого совместно с уравнением неразрывности
V.T + p0k = p0b, V- v = О,
или
- V/5 + pV2v + p0k = p0b, V*v = 0 (b = v), (16)
так как V. VvT= VV-v = 0, V-D = -^-Vav.
§ 3. Упругий материал
Основываясь на принципах причинности, соседства (локальности
взаимодействий) ' и материальной индифферентности, мы пришли в § 2 к
уравнению состояния простого материала в форме
(2.9) представления тензора напряжения функционалом над пред-историей
тензора искажений. Для упрощения записей в этом соотношении далее
опускается указание на само собой подразумевающуюся зависимость от
материальных координат частиц
Т Д) - 0*т (*) сГ (U (т))-0х {t). (1)
Фактически о предыстории можно делать лишь более или менее
приемлемые предположения. Ближайшей задачей поэтому яв-
ляется исключение предыстории - замена функционала функцией величин,
определенных "теперь" в момент t, а нет=Д - s. Первым шагом должно быть
выделение из'и(т) слагаемого U (t) и представление остаточного члена Q
(t, т)
U(T)-U(f) + Q(f, т). (2)
Обратившись к обозначениям гл. 1, § 17, заменим в тождестве
