Введение в теорию колебаний и волн. - Рабинович М.И.
Скачать (прямая ссылка):
Описание напряженного состояния тензором Коши Т, определенным в
актуальной конфигурации, естественно и физически наглядно. Трудность в
том, что, как правило, сама эта конфигурация наперед неизвестна, тогда
как отсчетная конфигурация входит в состав исходных данных.
Введение несложно выражаемого через тензор Коши Т тензора Пиола Р,
определенного в отсчетной конфигурации, упрощает общие построения, а в
некоторых случаях подходы к отдельным задачам.
В исходном соотношении (2.3) ориентированная площадка NdO заменяется ее
представлением (1.8.4) через ndo в отсчетной конфигурации. Получаем
t;ydO = N-TdO= j/^у n-VrT-Tdo = n-Pdo. (1)
В рассмотрение введен тензор Пиола
Р= VrTT, F= TVr. (2)
Обратные соотношения имеют вид
т v'rf ^RT> р = V -f- рт~ $R• (3>
Главный вектор внешних сил, действующих на произвольно выделенный объем
Vх, представим через тензор Р равенством
п • Р do = J (p0k + V• Р)dv VX 0х ох dx
74 НАПРЯЖЕНИЯ в СПЛОШНОЙ СРЕДЕ [ГЛ. 2
и условие равенства его нулю (при произвольном Vх) приводит
к уравнению статики в объеме, выраженному через тензор Пиола
V-P + Pok = 0. (4)
Здесь набла-оператор определен в отсчетной конфигурации. Соотношение (1)
имеет вид
n.P = f? (5)
- это уравнение статики на поверхности. Оно значительно упрощается при
"мертвых" поверхностных силах [см. (1.12)]
n-P = f°. (6)
Тензор Пиола несимметричен, симметрично по (3) его произве-
о
дение на VRT слева
VRT- Р = УТ^Т(0). (7)
Тензор Т(0) использован рядом авторов (Гамель, Каппус, Треффтц).
Уравнение статики в объеме для тензоров Т и Р записываются по (III.6.4) в
виде
-^rVG tstRf + p0Vgk = 0, -^rVg Psirt+p0Vg k-0, (8)
причем pst - контравариантные компоненты P в отсчетном базисе. Для
тензора Т(0) уравнения статики принимают вид; в объеме
^7Ki"t+Po/gk = 0, (9)
а на поверхности
f-f-=s'/-§-N,T"0)-f^t(0)N. t(0)N = n.Vr*.T(0). (Ю)
Через t(o) n обозначен вектор силы на ориентированной площадке N dO,
но отнесенной к единице площади в отсчетной кон-
фигурации.
Рассматривается также тензор Т~, определяемый формулами
Т~ = VrT-r-Vr, T = VRI-T''-VR, Т~ = ]/ Р Vr,
r-Q- о
P= у -у T VR. (11)
§6] ДРУГИЕ ОПРЕДЕЛЕНИЯ ТЕНЗОРОВ НАПРЯЖЕНИЙ 75
Представляя Tv через его контравариантные компоненты, имеем
(12)
--контравариантные компоненты Т~ в векторном базисе отсчетной
конфигурации равны контравариантным компонентам тензора Коши Т в
актуальной.
Заменив в (12) градиенты места их полярными представлениями, получим
т = Охт - U - Г • U - 0 х,
Т" = U-1-0X-T.0XT-U-1 = 0X-V-1-T-V-1-0XT. (13)
Тензору Т" далее присвоено наименование "энергетический"
(гл. 2, § 8); его называют также приведенным (reduced).
Представив* тензоры Р и Т через смешанные их компоненты одновременно в
базисах обеих конфигураций [см. (1.2.10)]
P = p3raR*, T = ^RaR<, (14)
получаем
ftreR'= |/|VrT-T= ]/|rpRP-^RaR'- j/frJWK
Pat=j/'jtaf (15)
Тензоры P и T~- удобные вспомогательные величины, непосредственно не
определяющие напряженного состояния; разыскание последнего требует
возвращения к тензору Коши Т, называемому иногда тензором истинных
напряжений.
Уравнение статики, выраженное через энергетический тензор напряжений
V-P + p0k = V |/rjf-VR + Pok = 0, (16)
по (1.19.12) преобразуется к виду
V-(]/|l)-VR+r* ^|т-(г,-л)+Рок-Уг==0, (17)
а в компонентном представлении - к виду
V, Pofe^O. (18)
Тензор
Тж = Y у Т = Р • Vr = tstrsrt (19)
называют вторым тензором Пиола-Кирхгоффа.
76 НАПРЯЖЕНИЯ В СПЛОШНОЙ СРЕДЕ 1ГЛ. 2
§ 7. Элементарная работа
Элементарная работа внешних массовых и поверхностных сил на виртуальном
перемещении 8R частиц среды в объеме V из состояния равновесия в ее
актуальной конфигурации равна
6'Л<*> = Ш pk-6Rd7 + SJ f-6RdO. (1)
V о
Обозначение б'А1е) (и далее б'а(е)) напоминает, что речь идет о малой
величине порядка 6R, но отнюдь не о вариации функции состояния среды;
б'Л(в) - элементарная работа, а отнюдь не "вариация работы"-такой
величины, вообще говоря, нет.
Преобразование формулы (1) проще всего осуществить, переходя к
интегрированию по объему v отсчетной конфигурации и используя тензор
Пиола
fi4.)==SSSp.k-eRA'+SS n.p.6Rdo = JJJ (p0k + V.p).6Rfl!u +
V О V
+ ШР" (v6R)T^ = SSSP--6VRTdn; (2)
V и
было использовано преобразование дивергенции произведения тензора на
вектор (III.3.10), формулы (7.4), (7.5) и перестави-о
мость операций V и б
V6R = r^6R = r56R, = 6riR, = 6VR, V6R = 8VR (3)
(так как отсчетная конфигурация не варьируется, 8г* = 0). Операции V и б
не переставимы; по (1.3.10)
V6R = VrV6R = Vr-8VR, (V6R)T= (6YRT)-^rT- (4)
Возвращаясь к (2), имеем
6'Л(е) = $$$6'аи)<&= Р -6V^dv, б'а(е) = Р- -6VRT. (5)
V V
Здесь 8'аы - элементарная работа внешних сил, отнесенных к единице объема
отсчетной конфигурации (удельная элементарная работа). Ее можно
представить и через тензор Т~ по (7.11)
/7Г 0 0 Г7Г 0 0
-Т -VR..6VRT= у _ т.".. VR >6VRT =
=т Y7r" (vR-№ + (6vr).vrO .
что следует из правил свертывания (1.7.16), (1.7.17). Вспомнив
определения (1.4.4), (1.7.8) меры и тензора деформации Коши-
