Введение в теорию колебаний и волн. - Рабинович М.И.
Скачать (прямая ссылка):
Соотношения dJ/dE = 1/со и (1.3.10) определяют частоту
^макс
J(E) = ~ j j-^- (?--? cos cpj.) '2 d(flt (1.3.8)
0
Ф
,, ?) = 4-------------------------------------------------------------
------------------------------------------------------------------^
dE ) ) [^/GHf + Fcosq)!)]12
(1.3.9)
(1.3.10)
(1.3.11)
Здесь R = (F/G)12, а К (x) и S' (x) - полные эллиптические интегралы
первого и второго рода:
Я'2
(1.3.12)
Я 2
<Г(х) = J (1- x2sin2E)12^,
о
где х sin г| = sin -Y- ф, 2х2 = 1 + EIF, а - эллиптический ин-
(о (и) __ я \ \Ж (х)] \ х<1,
"о 2 | 2x/JSf (х-1), х>1,
(1.3.13)
42
Глава 1
где Ю0=(Я/)12 (1.3.14)
- частота малых колебаний вблизи эллиптической точки. Асимптотическое
выражение для Ж при х 1 дает частоту вблизи сепаратрисы
( я
со0
2
я/1п
In
(1 - х2) 4
1 2
(X2- 1)
I 2
Х< 1,
х>" 1.
(1.3.15)
При х -*¦ 1 частота логарифмически обращается в нуль. Уравнение
сепаратрисы можно получить из (1.3.6) и условия Е = F:
(1 +COS ф5)
1 2
(1.3.16)
где индекс s отвечает значениям переменных на сепаратрисе. Отсюда Ps= dz
-cos -, (1.3.17)
где плюс и минус соответствуют верхней и нижней ветвям сепаратрисы.
Уравнение Гамильтона
с учетом (1.3.17) дает
dq>s
dt
<ps = Gps
± 2co0cos
ф5
(1.3.18)
(1.3.19)
Разрешая это уравнение относительно dt и интегрируя с начальным условием
= 0 при t = 0, получаем
СОп/
dtp/ 2
cos(ф/2)
In tg
ф5
(1.3.20)
или, после обращения,
ф5 = 4arctg [ехр (ю0^)] - я. (1.3.21)
Траектории вблизи сепаратрисы очень похожи на саму сепаратрису, за
исключением того, что период движения стремится к бесконечности при
приближении к сепаратрисе (1.3.13).
Гамильтониан (1.3.6) был получен для модели маятника. Однако оказывается,
что такого вида гамильтониан получается почти во всех близких к
интегрируемым системах, в которых имеет место резонанс между степенями
свободы. В окрестности значений переменных действия, соответствующих
точному резонансу, разложение неинтегрируемой части гамильтониана в ряд
Фурье дает члены,
Общий обзор и основные представления
43
которые вызывают медленные изменения, описываемые гамильтонианом вида
(1.3.6). Предположим, что угловые переменные ф и ф, соответствующие
разным степеням свободы, находятся в резонансе, так что отношение их
частот ыф/сОф для каких-то значений переменных действия близко к
рациональному числу г,7. Тогда можно произвести каноническое
преобразование к новой медленной переменной
и исключить одну из быстрых угловых переменных, например ф. Канонически
сопряженный 0 импульс связан с отклонением действия, например от точного
резонансного значения /0. Если теперь произвести усреднение по быстрой
угловой переменной ф, то получится гамильтониан с одной степенью свободы,
совпадающий по форме с гамильтонианом маятника (1.3.6). Поскольку такой
гамильтониан всегда возникает при фурье-преобразовании возмущения с
последующим применением резонансной теории возмущений и усреднения, он
был назван Чириковым [70 ] "универсальное описание нелинейного
резонанса". Мы будем называть его стандартным гамильтонианом. Он играет
фундаментальную роль во всем нашем изложении материала. Соответствующая
теория возмущений рассматривается в § 2.4 и широко используется в
последующих главах.
1.36. Линейные дифференциальные уравнения
Прежде чем перейти к анализу нелинейной системы с двумя степенями
свободы, рассмотрим хорошо изученное математически линейное
дифференциальное уравнение второго порядка с переменными коэффициентами.
Как известно, решение такого уравнения существует и соответствует
регулярному движению1). Рассмотрим дифференциальное уравнение
где f (t) я g (t) считаются пока произвольными функциями времени. Так как
это уравнение является линейным уравнением второго порядка, его общее
решение можно построить при помощи двух линейно независимых решений хх и
х2. Важное свойство этого уравнения получается из анализа вронскиана
0 = /ф-гф
(1.3.22)
x + f(t)x + g(t)x= О,
(1.3.23)
хг х2
W =
(1.3.24)
•^1
*) Это зависит от вида функций f (t) и g (t) в (1.3.23).- Прим. ред.
44
Глава 1
Дифференцируя обе части равенства по t, находим
dW dt
• •
Xi х2 + хх
хг х2 Х1 х2
(1.3.25)
где второй определитель обращается в нуль, так как он имеет одинаковые
строки. Подставляя выражение для хх и х2 из (1.3.23) и раскрывая
определитель, находим
Ф=- Хх(/Х2 gx2) + х2 (jxl -f gxx).
После сокращения членов gxxx2 имеем
W = -fW.
Интегрирование этого выражения дает
t
W{t) = W0exp -U(t)dt . (1.3.26)
^0
Если / (t) = 0, то диссипация в системе отсутствует *) и получающееся
уравнение
x + g(t)x = 0 соответствует гамильтониану
Н--
(Р2 + ?(0<72)
(1.3.27)
(1.3.28)
с q = х и р
х. В этом случае (1.3.26) сводится к W = const.
(1.3.29)
Это соотношение справедливо независимо от того, является ли g (t)
периодической функцией или нет.
Решение любого дифференциального уравнения второго порядка однозначно
определяется начальными значениями функции и ее производной. Поэтому для
