Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Рабинович М.И. -> "Введение в теорию колебаний и волн." -> 207

Введение в теорию колебаний и волн. - Рабинович М.И.

Рабинович М.И. Введение в теорию колебаний и волн. — НИЦ, 2000. — 564 c.
Скачать (прямая ссылка): vvedenievteoriuvoln2000.djvu
Предыдущая << 1 .. 201 202 203 204 205 206 < 207 > 208 209 210 211 212 213 .. 942 >> Следующая

о о
Грина и Фингера, называя их G (t), F (t) вместо G, F. Нет нужды в
реконструкции обозначений величин, определение которых не связано с
отсчетной конфигурацией, каковы вектор скорости v, его
градиент yv, деформация D, вихрь W.
При явном указании на отсчетную конфигурацию градиенты места
представляются формулами
vR(0 = R*(t)R,(0. vR(OT = Rj(0 R-5 (т) (2)
и, если поменять т и t местами
VR (т) = R* (<) R, (т), vR (х)т = R, (т) R* (t).
Заменяющим (3.5), (3.12) соотношениям придается вид
VR(/)-VR(t) = E, vR(*) = E. (3)
Мера деформации Коши - Грина представляется выражением
G(0 = R*(T)Ri(0-R*(0Rft(T) (4)
и при заменах
R* (0 = R,(0) • vR (t) = [vR (OP- Rs (0), R'(t)R,(0)=[vR(t)] \
R,(0)R*(t) = [vR(t)t]
48
ДЕФОРМАЦИЯ СПЛОШНОЙ СРЕДЫ
1ГЛ. 1
приводится к виду
O(0 = [vR(T)] 1-G(0-[vR(T)T] \ G(0 = vR(t)-G(0-VR(t)t. (5)
Здесь мы вернулись к обозначению G = G меры Коши - Грина. Аналогичное
вычисление для меры Фингера дает
F(o = vRWt-f(t)-vR(0.
В этих преобразованиях, конечно, R5(0) = rs, R^(0) = rs.
Далее рассматриваются тензоры вида t
(6)
d"
<hn
Q (t)
т=/
л -0, I, 2.
зависящие только от t, значит, не связанные с отсчетной конфигурацией -
т о
"лишенные памяти"; в определение величин G (t), G (t) внесена "память" об
отсчетной конфигурации.
Примерами лишенных памяти величин служат тензоры
L,=
^VR(x)
X-t
R s(t)
R *(t)
d_
dx
dx*
R, (t) R ,W
dv
х.Г*'ф=(tm)
= Rs^ = Vb x=t aqs
и т. д. К их числу относятся тензоры Ривлина-Эриксена Получаем
Э" =
%-t
(7)
(8)
(9)
Эх =
X-t
dqs
vm
и по (4)
Аналогично получим
х=<
vv(0-v R(0 + VR(0w (0Т
91 = vv-|-vvt = 2D.
2D
э2 = Vb-j- vbT + 2vv-VvT Возвращаясь к (10), имеем также
12
(10)
(П)
d t
dl°W
т=/
^ [б м]г
dz
х =t
= U (/)•
*н..-
d *
dx
U (т)
т=/
•11(0=2
d *
и еще одним представлением тензора деформации скорости служит
(12)
§18l По (!)
ОПРЕДЕЛЕНИЕ ВЕКТОРА МЕСТА
|U( т)-ОХ(т)
= D -
. x-t
= D + es (t)
ts (t)
x-t
49
x = t
Do-e,(0 eMO
(напомним, что е,,-то же самое, что е5). Вместе с тем
es (t) ts (t) + ts (t) es (/) = [e, (t) e* (*)]• =0.
Получаем
W= j (VvT -yv) = - e". (t) e* (t) = es (t) & (t) --
так что
ёЛО-W-e, (0 = -e, (0-W.
Этим определяются производные по времени векторов ортогонального триэдра
0х; изменение во времени этих векторов обусловлено вихревым полем.
Формулам (14) и (1.11.3) можно придать также вид
(VXv)Xe, (t),
так как VXV-сопутствующий 2W вектор.
Компонентное представление индифферентного тензора в штрихованном базисе
О х представляется выражением
Q' =qstzWt
и для наблюдателя в этом базисе производная Q' в этом базисе по времени
(обозначим ее Q') равна
Q' = qsizWt-
"Неподвижный" наблюдатель констатирует при наличии вихревого поля
скоростей вращение базиса es- Определяемая им производная по времени
равна
Q' = qstese'tqst (esej)' = -J- qst (W- esej• W') =
= Q'+W'-Q'-Q'-W\
Отбросив ненужные теперь штрихи, получаем
Q = Q-W-Q+Q.W.
Этим показано, что производная Яуманна - Нолла (16.3) - не что иное, как
производная тензора по времени во вращающейся системе осей. Ее определяет
наблюдатель, следящий за поведением тензора в вихревом поле скоростей.
§ 18. Определение вектора места по заданию меры деформации
Предполагается известной отсчетная конфигурация-вектор
места в ней г (q1, q2, q3). По этому вектору строятся векторные
rs, г5, компоненты метрического тензора g k, gsk, символы о о
базисы Кристоффел
Г* Г], | г | .
Задана положительная матрица
50
Деформация сплошной среды
[гл. !
ковариантных компонент меры деформации Коши -Грина
G,t = R,-R,. (1)
По ней определяется обратная матрица Gst (контравариантные компоненты
метрического тензора в базисе "7 ^-конфигурации^
и символы Кристоффеля [s/, г], . Требуется определить ба-
зисный триэдр Rl R2, R3 актуальной конфигурации, а по нему вектор места в
ней R(ql, q2, tf). Задача сводится к рассмотрению системы
дифференциальных уравнений вида (II 1.4.2)
интегрируемой, как было разъяснено в III. § 10, при тождественном
обращении в нуль тензора кривизны Римана - Кристоффеля (или тензора
Риччи) (II 1.10.14)
'R = ?M"R*R'R-'R', (3)
вычисляемого по заданию матрицы (1) по формулам (III. 10.15ц в них,
конечно, теперь gsk, gsk заменены на Gsk, Gsk\ требуется, чтобы были
равны нулю шесть компонент (III.10.21) тензора Риччи. Поскольку, согласно
(2),
dRs ¦_ dRf /4.
dqt dq* ' К >
соотношение
dR = R sdqs
интегрируемо; вектор места R (q1, q2, q3) определяется квадратурой, коль
скоро базисные векторы R5 будут определены системой (2).
Постановка задачи остается неизменной при наложении на задание (1) меры
Коши не создающего деформации тензора Е. Это позволяет принять G {аМ0) =
Е в фиксированной частице &//".
Следствием тождественного равенства нулю тензора кривизны (3) является
существование единой декартовой системы осей OXYZ, в которой векторы
места определяются выражениями
г = 1/г*, R = iix5(a1, а2, а3) (5)
и as можно рассматривать как материальные координаты qs частицы.
Системе (2) может быть теперь придан вид
Предыдущая << 1 .. 201 202 203 204 205 206 < 207 > 208 209 210 211 212 213 .. 942 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed