Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Рабинович М.И. -> "Введение в теорию колебаний и волн." -> 205

Введение в теорию колебаний и волн. - Рабинович М.И.

Рабинович М.И. Введение в теорию колебаний и волн. — НИЦ, 2000. — 564 c.
Скачать (прямая ссылка): vvedenievteoriuvoln2000.djvu
Предыдущая << 1 .. 199 200 201 202 203 204 < 205 > 206 207 208 209 210 211 .. 942 >> Следующая

Действительно, дифференцируя по времени, имеем
= (/у)'= p(R; 0-lf+v-Vp, (1
2)
?14] МАТЕРИАЛЬНАЯ ПРОИЗВОДНАЯ ИНТЕГРАЛА 41
так что
_fl(|. + v.Vp)=p|/|'v.,, ± + v.Vp + pV.v . 0,
как и требуется. В стационарном движении p---p(R), уравнение (10)
приводится к виду
V-pv = 0 (13)
и при р = Ро ~ const дивергенция скорости оказывается равной нулю
V • v - 0 (14)
- это уравнение несжимаемости несжимаемой среды. В несжимаемом движении
сжимаемой среды
$ + Wp = 0.
Материальная производная циркуляции вектора по материальному контуру Г.
По (3.6) и по определению (III. § 8) циркуляции вектора имеем
С = (/>dR-a= (^dr-VR-a,
Г V
С = (j) dr¦ (vr-а) = fftdr-VR-[Vv-a + a] =
7 7
= j) dR • [V (v • a) - (Va) • v -f a],
г
причем у- контур в отсчетной конфигурации, образуемый теми же частицами,
что и Г. Вместе с тем по (III.2.3)
dR-V (v-a) = d (v-a), (f) dR- V (v-a) = 0
г
в предположении, что скаляр v-a однозначен. Итак,
С = § dR- [a - (Vn)-vj. (15)
В частности при a=v по (III.3.2)
17 t'2 1
(v-v) -=(Vv)-v,
<pdR-(Vv)-v = j<fdR- Vv^y^do* ="°-
42
ДЕФОРМАЦИЯ СПЛОШНОЙ СРЕДЫ
[ГЛ. 1
Приходим к теореме Кельвина:
C==^dR-v, С - & dR ¦ v = j) dR • b (16)
г гг
- производная по времени циркуляции вектора скорости по материальному
контуру равна циркуляции вектора ускорения.
§ 15. Жесткие движения. Индифферентные тензоры
Напряжения, возникающие в твердых телах, порождаются, в частности,
деформациями этих тел. Поэтому, если на рассматриваемое движение тела
накладывается жесткое движение, т. е. движение, не сопровождающееся
деформацией, а все прочие параметры (например, температура) остаются
неизменными, то мы ожидаем, что и напряжения при этом окажутся
неизменными. Вместе с тем понятно, что при жестком повороте тела тензор
напряжений поворачивается вместе с телом, т. е. поворачиваются его
главные оси, а собственные значения не меняются. Иными словами, тензор
напряжений оказывается как бы "вмороженным" в данное тело. Объекты,
обладающие при жестких движениях аналогичными свойствами, будут в
дальнейшем называться индифферентными.
Рассмотрим два движения деформируемого тела R (q1, q2, q3\ /) и R' (q1,
q2, q3\ t), ни одно из которых, вообще говоря, не является жестким. Будем
говорить, что эти два движения различаются жестким движением, если в
данный момент времени между ними существует связь вида
R'(<7\ q\ q3', t) = с (t) + [R (q\ q\ q3; f)-Re(0]-0 (*)• 0)
Здесь с (t) - место, занимаемое R0 при движении R', О (i) - собственно
ортогональный тензор. Если между любыми двумя движениями тела можно
установить соответствие (1), то такое тело называется абсолютно твердым.
Определение: тензорное поле &-го ранга A (g1, q2, q3, R) называется
индифферентным, если при наложении жесткого движения оно преобразуется по
следующему закону:
A'(R') = ^,",'*(R)eirO(/)...clVO(0. W
Здесь 0(t) - тот же ортогональный тензор, что и в (1), е,-- произвольный
базис. В частности, скаляр является индифферентным, если выполнено
условие
ф' (R') = Ф (R)-
Типичным примером индифферентного скаляра является плотность. Последняя
зависит от движения R, поскольку при этом
§ ,5] ЖЕСТКИЕ ДВИЖЕНИЯ. ИНДИФФЕРЕНТНЫЕ ТЕНЗОРЫ 43
меняется объем. Однако объемы в движениях R и R' совпадают, поэтому и
плотности совпадают. Примером неиндифферентного скаляра является
кинетическая энергия, но внутренняя энергия индифферентна.
Вектор а индифферентен при условии
a' (R') = a (R) - О (t) = От (/) - a (R). (3)
Из (1) немедленно следует, что базисные векторы R4 индифферентны.
Действительно, поскольку с (t) и О (t) одинаковы для всех частиц тела, то
Rs = Ri-0 = 0TRi, (4)
т. е. базисные векторы "вморожены" в тело.
Найдем компоненты индифферентного вектора в движениях R и R'. Легко
убедиться, используя (3) и (4), в справедливости равенства
a'(R')-R; = a(R)-R,.
Отсюда вытекает, что положение вектора а' относительно базиса Rs точно
такое же, как и положение вектора а относительно базиса R4. Вполне
аналогично из (2) и (4) следует, что компоненты индифферентного тензора
относительно базиса R,. остаются неизменными при наложении жестких
движений.
Согласно (2) индифферентный тензор Q второго ранга определяется
соотношением
Q' (R') = ?rfR,• OR, • О = От • qstRsRt• О,
так что
Q'(R')==0T Q.O. (5)
Индифферентные величины "вморожены" в базис, сохраняются числовые
величины их компонент, равно как и ориентация в векторных базисах R4. и
Rj. Поля а и Q смещаются и поворачиваются вместе с базисом,
"наблюдатель" за поведением индифферентных
полей не знает, с каким базисом он связан.
Дифференцируя (1) по t, имеем
v' =c(0 + OT-v + OT-(R-R0) =c-f 0Tv-f 6T0-(R'-с), так что
v' - От v =c + 0T 0 (R - с). (6)
Вектор скорости неиндифферентен; это следует из (3), поскольку правая
часть (6) не нуль. Это и понятно: так как частица Движется, вектор v не
"вморожен" в среду.
Кососимметричный тензор
Q =0Т0 = - 0Т0 = - йт (7)
44 ДЕФОРМАЦИЯ СПЛОШНОЙ СРЕДЫ [ГЛ. 1
представляет тензор угловой скорости (спин) штрихованной системы
Предыдущая << 1 .. 199 200 201 202 203 204 < 205 > 206 207 208 209 210 211 .. 942 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed