Введение в теорию колебаний и волн. - Рабинович М.И.
Скачать (прямая ссылка):
I k (G) - I k (F), Ik( g); надо степени тензоров до третьей включительно
выразить через степени мер
С=4(0 -Е), C2 = |(G2-2G+E),
1 (17)
C3 = -i(G3 -3G2 + 3G -Е)
и вслед за этим использовать формулы, выражающие инварианты степеней
тензора через его инварианты (1.7.9), (1.7.11). Получаем
и (С) = | [/, (G) - 3], /2 (С) = 1 [7а (G) - 271 (G) + 3], h (C) = |[/s
(G)-/t (G) + /x (G) -1]
и аналогично
I, (А) = | (3 - /, (g)), /2 (А) = 1 [/2 (g) - 2/, (g) + 3], h (А) = ¦§¦ [
73 (g) -j- /2 (g) - /j (g) 4-1].
Обратные соотношения имеют вид
Л (G) ^ 2/j (С) + 3, /2 (G) 4/2 (С) + 4/j (С) + 3,
/3 (0) = 1+2Л (С) + 472 (С) + 873 (С),
/i (g) = 3 - 2/з (A), ;2(g) = 3~4/1(A) + 4/2(A),
78(g) = l-271(A) + 4/s(A)-873 (A).
Более сложны зависимости между инвариантами тензоров А и С. Можно их
получить, используя формулы связи (5.9) между
(18)
(19)
(20) (21)
26 ДЕФОРМАЦИЯ СПЛОШНОЙ СРЕДЫ 1ГЛ. 1
инвариантами мер. Например,
M8)=3-2/,(A)-MS,
так что по (20)
т /д\ h (C)-f-4/a (C)-f-12/3 (С)
li vrt; l+2/i (C) + 4/2 (С) +8/3 (C) •
Громоздкость этих соотношений, как и предшествующих формул, заставляет
предпочесть меры деформаций тензорам. "Вводя перемещения вместо координат
*), ничего не выигрывают, а наоборот теряют в смысле краткости и
обозримости формул" (Кирхгофф).
При жестком перемещении среды (4.22) тензоры деформации - нулевые. Это и
само по себе понятно и, конечно, следует из (4.23), (8), (9).
Линейный тензор деформации при жестком перемещении - отнюдь не нулевой.
Действительно, по (7) и (4.22) о ,/о оч, /о о \ ,
е (Ы) = 1 (>u + VuT j =-Ц VR + VRT - 2Е J = у (О + От -2Е). (22)
Вместе с тем
Vu • VuT = (О - Е) (От - Е) = 2Е - (О + От) и, как требуется, по (3)
2С = 0 + 0Т - 2Е + 2Е -(О + От) = 0.
§ 8. Объемное расширение. Ориентированная площадка
1. Объемное расширение-это отношение разностей элементарных объемов dV
и dv в актуальной и отсчетной конфигурациях к объему dv в отсчетной
конфигурации. По (1.9) и (7.20)
^_dv~dv= - l = /77(G) - l =
= [1 -f 2/, (С) + 4/2 (С) + 8/, (C)]V. - 1. (1)
Эту же величину можно представить выражениями
т = Vg&g, -1 = Vlv2v3 ~ 1 = (1 + б,) (1 + б2) (1 + б,) -1 =
= [(1 + 2CJ (1 + 2Сг) (1 + 2C,)]V. - 1, (2)
причем Ск - главные значения тензора деформации Коши-Грина.
*) В принятом здесь изложении "вектора места".
?8] ОРИЕНТИРОВАННАЯ ПЛОЩАДКА 27
2. В обозначениях (4.1) векторы ориентированной площадки в отсчетной и
актуальной конфигурациях определяются выражениями
"do = dr' х dr" = е' х е°" ds'ds", N d0 = dR' x dR" = e' x e'dS'dS".
(3)
формулы (4.17) и (3.1) позволяют преобразовать NdO к виду
N dO = е' • VR х YRT • е" ds'ds" = е' • r% х Rftr*- е" ds'ds". (4) По
(1.2.4), (1.2.3) и (2.2), (2.3) имеем далее
R,XR]/-f e,MR* = ]/f e^Vr-r' = ]/ -|Vr-(r,xrft)
и подстановка в (4) приводит к соотношению
NdO=y/^ Vr-(t'¦rsrsxrkrk-e"'^ds'ds"- |/ J- Vr-^e' xe"j ds'ds".
Пришли к многократно применяемому далее соотношению между параметрами
ориентированной площадки в актуальной конфигурации и ее прототипа в
отсчетной конфигурации
N dO = |/ Vr • n do = "J/^ J- n • VrT do. (5)
Обратное соотношение имеет по (3.5) вид
ndo = VR-N dO = ]/|-N-VRT dO. (6)
Следствием этих формул и определений мер деформации (5.1), (5.2) являются
соотношения
у " Y ~(n-Vrr-Vr.n)4.= У (n-G-1 -п)1'.,
^.= /f(N.F.N)V. (7)
- меры G-1 и F определяют отношения площадей ориентированных площадок в
j/3t- и "-конфигурациях, подобно тому как G. g-отношения длин отрезков.
Формулы связи между единичными векторами N и п имеют вид
N = (n-G-1-n)~ Vs Vr n, n = (N-F-N)-'/.VR-N (8)
или в компонентном представлении
Ns = (Gktnknty1/2°ns, ns = (g^NkNt)-'^Ns. (9)
28 ДЕФОРМАЦИЯ СПЛОШНОЙ СРЕДЫ [ГЛ. 1
§ 9. Дифференцирование мер Коши-Грина и Фингера
Дифференцирование инвариантов Ik(G) по аргументу G осуществляется по
формулам (II.3.2), а по градиенту места по (II.3.5)
Л (G)o -- 2Е • VR - 2VR,
VR
/2(С)0 =2 (E/j (G) - G)' VR - 2VR • (Elt (G) - F), (1)
VR
73(G)0 =2/з (G) VrT.
VR
Из последнего соотношения, учитывая, что
/MGjo=ykX(оуо-1, (2)
получаем
|//з(О)0 ~V I3 (G) V7rr. (3)
VR
Дивергенция этой величины оказывается равной нулю. Действительно, по
(III.6.4) и (III.4.8)
V у(tm)' -
dqs
Пришли к тождеству Пиола
V-]/77(G) VH-V-l/MGb- = 0. (4)
VR
По (П.3.4)
>о У^Фо
V R / V R г
и по (1), учитывая равенство инвариантов Ik(G), /л (F), получаем
Л (F)0 = 2VRT, /2 (F)0 --- 2VRT• (Elt (F) - G),
Vr r vrt
/3 (F)0 =2/3 (F) Vr. (5)
VR
§ 9] ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ МЕР 29
О
Сложнее выражение производной по VR самого тензора G. По (II.4.15)
G0 = VR С", + rV• VRTr5rt = VR• Сш +r'r *rfrtr'• R, =
VR
- VR-Cni "Ь vsi'*riRft - VR-Cni +Сц • VR.
Сославшись еще на (1.15.9), получаем
G0 = (Сц + Cin) • VR, g^. (Сц -f Cni) ¦ Vr (6)
VR
--второе соотношение получено аналогично первому.
Формула обобщается на дифференцирование по градиенту места любого
тензора. По (II.4.11) и (1.15.3)
Qo =Qg -C" G0 -- Qg • ¦ (Сц -f-Cm) • VR
VR VR
и, обратившись к определению производной по симметричному тензору,
